信号与系统第二单元课件郑君里版

第二章连续时间系统时域分析系统微分方程的建立与求解初始条件的确定（换路定律，冲激匹配法）零输入响应与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积积分及其性质利用卷积求零状态响应算子符号表示微分方程主要内容连续时间系统分析的任务：建立系统模型对已知的系统模型和输入信号求输出响应系统时域分析方法包括：时域经典法时域卷积法§2.1引言§2.2微分方程的建立与求解一.微分方程的建立1234ABCD4321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:8-Aug-2003SheetofFile:E:\MyDesign.ddbDrawnBy:CR2R1Lf(t)+-+-y(t)i1(t)i2(t)e(t)r(t)dttdetrCRdttdrCRRLdttrdRRL)()(1)()1()()11(211222122211122211RtrtitetitiRdttdiLtetiRdiCdttdiLt解：列写LCR2e(t)和LR1e(t)两回路方程总结：一个n阶线性连续系统可以用n阶线性微分方程描述0001111ttebtebtratratratrmmnnn当系统由参数恒定的线性元件组成时，则构成的系统是线性时不变系统，体现在方程形式上为线性常系数微分方程。微分方程建立的两类约束来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.tituR电阻：atcccccdiCtudttduCtitutqC1b电容：duLtidttdiLtutitLtlllll1c电感：元件伏安关系dttdimdttdiLtvdttdimdttdiLtv12222111V21L2Lv1v2i1i2md.耦合电感:解的形式:全响应=齐次解rh(t)+特解rp(t))()(...)()()()(...)()()()()()()()(teEteEteEteEtrCtrCtrCtrCmmmmnnnn二.微分方程的求解（时域经典法）)sincos()sincos()(/,.ctKtKetKtKetrnijsiiiitthiiii：特征根为成对共轭复根1.齐次解rh(t)nnnnCCCC...设特征方程为：n1i...)(.atitntthineAeAeAeAtr特征根无重根时：n1:kb12-21-11)...()(.kitαitαkkkhieAeAtAtAtrα例重根，其他都为单根为为特征根有重根时，以2.特解rp(t):与激励的形式有关将特解代入原方程，使方程两边系数相等求得特解中的系数激励函数e(t)响应函数r(t)的特解E(常数)BptppppBtBtBtB...atBetBtBsincosteDtDtDteBtBtBatpppatpppsin)...(cos)...(tetatpcostetatpsintcostsinate由边界条件，即激励作用期间的某一时刻t0输出r(t)及其各阶导数的值来确定，一般取t0=0+3.确定齐次解中的待定系数Ai全响应＝齐次解rh(t)+特解rp(t)含待定系数.,)(.)(),()()(:求解响应如果输入信号为初始值示如下系统由一阶微分方程表例题tKetxytxtydttdy)()(:tydttdy齐次微分方程为解thAety)(:齐次解为)()(.)(tptBetyKetx特解形式为因为tpetyB5K)(,5K)(所以回代到原方程得将5/)()(5/,0)0(,5/)()()(:2332ttttpheetyyeAetytytyKkAk所以得条件代入响应为三.自由响应与强迫响应完全响应=齐次解+特解自由响应：齐次解（形式与系统的特征根相关，系数与激励信号相关）强迫响应：特解（完全由激励信号决定）固有频率（自由频率）：特征方程的根经典法不足之处：•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。卷积法：系统完全响应=零输入响应+零状态响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励产生的响应称为系统的零状态响应。§2.3起始点的跳变二.为什么要研究起始点的跳变一.系统的状态*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态*初始条件(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态)]0(),...,0(),0(),0([)0()1()(nkrrrrr)]0(),...,0(),0(),0([)0()1()(nkrrrrr*跳变值:系统在0+时刻的零状态响应()()()(0)(0)(0)kkkzsrrr根据换路定律:电容电压在没有冲激电流或者阶跃电压直接作用于元件时,在换路瞬间将保持原值.电感电流在没有冲激电压或者阶跃电流直接作用于元件时,在换路瞬间将保持原值.1.换路定律2.根据3.根据元件特性与拓扑结构求其它电流电压值)()()()(llcciivv)()()()(lclciviv和和三.根据具体电路确定初始条件210V1010v1F1H2V0(t)12例：电路如图所示，t=0以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0时刻，开关自“1”转至“2”。1.从物理概念判断2.写出t0时间内描述系统的微分方程，求vo(t)的全响应)()(),(),(''oooovvvv和解:1.0)0()0()0(0clvvv0)0()0()()0(0//0vvdttdvictcc)0()0(5210lciiAVAVdtdvCAiooc4)0()0(4)0('Avil11010)0(0)0(lv0)0(ci0)0()0(00vvAiill1)0()0(210V1010v1F1H2V0(t)122.t0时,电路方程为:2)(10)()(1)(210000tvdttdvcdvltvttetvt23sin38)(2100)()()(00202tvdttdvdttvd01223211j)23sin23cos()(21210tctcetvt强迫响应=0;完全响应=自由响应0)0(0v4)0('0v将初始条件代入：3/8021cc四.根据冲激函数匹配法确定初始条件)()()()()()(kkzskrrr依据：0-到0+状态是否有跳变,看将e(t)代入方程后,方程右边有无冲激函数及其各阶导数项.如果包含及其导数，可能利用冲激函数匹配法求出即可确定初始条件，从而求解全响应如果不包含则易知初始条件，从而求解全响应)(t)0()0()()(kkrr)0()(kzsr)()(tk)0()0()()(kkrr冲激函数匹配法说明:1.描述系统的微分方程应该在整个时间范围内成立,在引入冲激函数之前,函数在不连续点的导数不存在.冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题,使得微分方程在整个时间范围内得以成立.2.根据阶跃,冲激以及冲激偶等奇异函数的微积分关系,表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函数，如果由于激励的加入,微分方程右端出现冲激函数项(包括导数形式),则方程左端也应该有对应相等的冲激函数项.匹配就是使左端产生这样一些对应相等的冲激函数,它们的产生,意味着r(k)(t)中某些函数在t=0点有跳变.原理：t=0时刻微分方程左右两端的应该相等。)()(tk)0(),()(,0)0(),()(2)(rtutertetrdttdr求例：()()()2()()(0)0(0)(0)0zsetutdrtrtutdtrrr方程右端无冲激函数，起始点没有跳变对不是冲激函数项，不必考虑匹配)0(),0(),()(,1)0(,1)0()()(4)(3)(2''22rrtuterrtedtdtrdttdrdttrd求例：方程右端有冲激函数，起始点发生跳变)()(4)(3)(2)()('''ttrtrtrtute解：＋＝＋)()()()()()()()(''''zszszszsrrrrrrrr)(21)()(21)()()(2'''ttutrtutrttr———从最高项开始匹配)()()()('''tuttt45)(4)(4''tt)(5t)()(tut4)(tu)(16)(14tt14)0(4)0(1)0('''zszszsrrr只表示t=0处有一个单位跳变).()(),()()()()()()(zszszsrrrtttrtrtrtr和求跳变量已知方程)(3)()(2)(5)(4)(tttrtrtrtr总结：1.只匹配及其各阶导数项,使方程两端这些函数项对应相等.)(t2.匹配从方程左端的最高项开始,首先使方程右端函数最高次项得到匹配.)()(trk3.每次匹配低阶函数时,若方程左端所有同阶次函数各项系数之和不能和右端匹配,则由左端最高项补偿.)()(trk4.在匹配低阶次函数项时,已匹配好的高阶次函数项的系数不变.5.结果为响应及其各阶导数在激励函数不连续点处的跳变量.)()()()()()(,,:)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(:).()(),()()()()()()(tucrtubrtuarcbattuatrtubtatrtuctbtatrtudtctbtatrtttrtrtrtrrrrtttrtrtrtrzszszszszszs代入方程配平系数解和求跳变量已知方程用数学方法描述冲激函数匹配法§2.4零输入响应与零状态响应(LTI系统)完全响应=自由响应+强迫响应=齐次解+特解=零输入响应(rzi)+零状态响应(rzs)=暂态响应+稳态响应完全响应的几种分解：T[.]e(t){x(0-)}r(t)=T[{x(0-)},e(t)]=T[e(t)]+T[{x(0-)}]零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态所产生的响应。——可用时域经典法求取零状态响应：起始状态为零，由系统外加激励信号所产生的响应。——可用卷积的方法求取，也可用时域经典法)0()0()()(kkrr()(1)(1)()1100()()...()()()...(),0nnmnmrtartartartbetbett一般微分方程对于零输入响应应满足下面的微分方程及的解)0()(kr0)()(...)()(