(拿高分选好题)(新课程)高中数学二轮复习专题第一部分《1-4-1空间几何体》课时演练新人教版

-1-第一部分专题四第1课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1．(2012·新课标全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18解析：由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝12×6×3＝9，∴V＝13Sh＝13×9×3＝9.答案：B2．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.答案：C3．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为()A.2a2B.32a2C.62a2D.6a2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S＝34(2a)2，-2-∴S＝6a2.答案：D4．(2012·北京海淀二模)某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A.203B.43C．6D．4解析：由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是：23－13×22×1＝203，故选A.答案：A5．已知一个圆柱的正视图的周长为12，则该圆柱的侧面积的最大值等于()A．πB．6πC．9πD．18π解析：圆柱的正视图是一个矩形，若设圆柱的底面半径为r，高为h，则依题意有4r＋2h＝12，即h＝6－2r，且0＜r＜3.故其侧面积S＝2πrh＝2πr(6－2r)＝4πr(3－r)≤4π·322＝9π，此时r＝32，所以该圆柱的侧面积的最大值等于9π.故选C.答案：C6．(2012·银川质检)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于()A．8πB．16πC．482πD．不确定的实数解析：设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4ab＝82，当且仅当a＝b＝22时等号成立．此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.-3-答案：B7．(2012·山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．解析：VA－DED1＝VE－ADD1＝13×S△ADD1×CD＝13×12×1＝16.答案：168．(2012·上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则πl＝2πr，12πl2＝2π.∴l＝2，r＝1，∴h＝3.∴V圆锥＝13π×12×3＝33π.答案：33π9．已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为32π3，则该三棱柱的体积为________．解析：根据球的体积计算公式，该球的半径是2.设三棱柱的高为2a，根据题意，得a2＋1＝4，得a＝3，故这个三棱柱的高是23，其体积是34×(3)2×23＝92.答案：9210．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；-4-(2)求这个几何体的表面积及体积．解析：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm2)．所求几何体的体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．11.如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：取BC的中点E，连结AE，DE，∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面AED.∴BC⊥AD.(2)由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝23，设AD＝x，F为棱AD的中点，则EF＝12－12x2，S△AED＝12x·12－x24＝1448x2－x4，-5-V＝13S△AED·(BE＋CE)＝1348x2－x4(0＜x＜43)，当x2＝24，即x＝26时，Vmax＝8，∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD＝26.B级1．(2012·山西省联考)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的全面积是________(单位：m2)．解析：依题意得，该棱锥是一个三棱锥，令其各顶点分别为A、B、C、D，如图所示，取BC的中点E，连接AE、DE，由三视图可知AE⊥平面BCD，且AE＝2，DE＝2，BE＝EC＝1，AB＝AC＝BD＝CD＝22＋12＝5，AD＝AE2＋DE2＝22，因此该棱锥的全面积是2×12×2×2＋2×12×22×52－2222＝4＋26.答案：4＋262．(2012·海淀区期末练习)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O、O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)．对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．-6-说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”，包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan30°×2＝2，长为4.故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点．B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π33.如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1.(1)证明：DE∥面ABC；(2)求四棱锥C－ABB1A1与圆柱OO1的体积比．解析：(1)证明：连接EO，OA.∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1.又DA∥BB1，且DA＝EO＝12BB1.∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，又DE⊄面ABC，AO⊂面ABC，∴DE∥面ABC.(2)由题意知DE⊥面CBB1，且由(1)知DE∥OA，∴AO⊥面CBB1，∴AO⊥BC，∴AC＝AB，因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA1⊥CA，∴CA⊥面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱＝πr2h，V锥＝13h(2r)·(2r)＝23hr2-7-∴V锥∶V柱＝23π.