(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月13日)

【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月13日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．定义运算：(abx＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(abx0的解集为{x|1x2}，则关于x的不等式(bax0的解集为()A．(1,2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.－23，1D.－∞，－23∪(1，＋∞)解析1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝－3，所以(－1x＝－3x2＋x＋20，得3x2－x－20，解得x－23或x1.答案D2．若方程sin2x＋2sinx＋a＝0有解，则实数a的取值范围是()A．[－3,1]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[－1,1]解析令f(x)＝sin2x＋2sinx，则f(x)的值域是[－1,3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，所以实数a的取值范围是[－3,1]．答案A3．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)f(3)g(0)B．g(0)f(3)f(2)C．f(2)g(0)f(3)D．g(0)f(2)f(3)解析由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝ex－e－x2，g(x)＝－ex＋e－x2，g(0)＝－1，函数f(x)＝ex－e－x2在R上是增函数，且f(3)f(2)＝e2－e－220，因此g(0)f(2)f(3)．答案D4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析分别画出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x，y＝2的图象，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A正确．答案A5.e416，e525，e636(其中e为自然常数)的大小关系是()A.e416e525e636B.e636e525e416C.e525e416e636D.e636e416e525解析由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝exx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.而f′(x)＝exx2′＝ex·x2－ex·2xx4＝exx2－2xx4，令f′(x)0得x0或x2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即e416e525e636.答案A6．已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx＋c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈(－1,1)，x2∈(2,4)，则a＋2b的取值范围是()A．(－11，－3)B．(－6，－4)C．(－16，－8)D．(－11,3)解析依题意得，f′(x)＝x2＋ax＋b，x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，于是有f－＝－2＋a－＋b＝1－a＋b0，f＝12＋a·1＋b＝1＋a＋b0，f＝22＋a·2＋b＝4＋2a＋b0，f＝42＋a·4＋b＝16＋4a＋b0.在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，验证得：当a＝－5，b＝4时，a＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，a＋2b取得最小值－11.于是a＋2b的取值范围是(－11,3)．答案D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.解析∵f(x)＝loga(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a1时，0＝loga1≤loga(x＋1)≤loga2＝1，∴a＝2；当0a1时，loga2≤loga(x＋1)≤loga1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.答案28．若方程x2＋ax＋2＝0的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a的取值范围是________．解析方程有两个根，且一个大于1，另一个大于0小于1，设f(x)＝x2＋ax＋2，只需f(0)0且f(1)0，得a－3.答案a－39．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案[－1，＋∞)三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求ba－1的范围．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有f＝0，f＝－6，即12＋4a＋b＝0，8＋4a＋2b＝－6，解得a＝－52，b＝－2.∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)0，得－13x2.∴y＝f(x)的单调递减区间是－13，2.(2)由f－＝3－2a＋b≤2，f＝3＋2a＋b≤2得2a－b－1≥0，2a＋b＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由2a－b－1＝0，2a＋b＋1＝0得a＝0，b＝－1.∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝ba－1，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线斜率．∵kPQ＝1，由图可知z≥1或z－2，即ba－1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．(本小题10分)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)，讨论g(x)与g1x的大小关系．解g1x＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－2x2，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g1x；当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g1x；当x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g1x.12.(本小题10分)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A、B、C、D四点，点A1、A2分别为C2的左、右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.由x209＋y20＝1得y20＝1－x209，从而x20y20＝x201－x209＝－19x20－922＋94.当x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.从而t＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．