(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月25日)

【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月25日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·湖南卷)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析因为被抽取的个体有明显差异，所以宜采用分层抽样．答案D2．(2013·陕西卷)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解析由系统抽样的等距抽样特点知，840人要分成42组，每组20人，[481,720]包含的是第25组到第36组，每组抽1人，则共抽到12人，故选B.答案B3．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．60解析低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以总人数为150.3＝50(人)．答案B4．已知x与y之间的几组数据如下表：x0123y1357则y与x的线性回归方程y^＝b^x＋a^必过()A．(1,3)B．(2,5)C．(1.5,4)D．(3,7)解析由题意知，样本中心点32，4一定在回归直线上．答案C5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．答案D6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d算得，K2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.答案C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析利用样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等的特点进行求解．抽取男运动员的人数为4848＋36×21＝12.答案128．(2013·湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析(1)由直方图得(0.0012＋0.0024×2＋0.0036＋x＋0.0060)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.答案(1)0.0044(2)709．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析设5个班级的数据分别为0≤a≤b≤c≤d≤e.由平均数及方差的公式得a＋b＋c＋d＋e5＝7，a－2＋b－2＋c－2＋d－2＋e－25＝4.设a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分别为p，q，r，s，t，则p，q，r，s，t均为整数，则p＋q＋r＋s＋t＝0，p2＋q2＋r2＋s2＋t2＝20.设f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)0，则判别式Δ0，解得－4t4，所以－3≤t≤3，所以e的最大值为10.答案10三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531(1)用茎叶图表示两学生的高考备考成绩；(2)分别求两学生的高考备考成绩的中位数和平均分．解(1)两学生的高考备考成绩的茎叶图如图所示：(2)将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559从以上排列可知甲学生的高考备考成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生的高考备考成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生的高考备考成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537；乙学生的高考备考成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.11．(本小题10分)(理)(2013·福建泉州一模)甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t(cm)，相关行业质检部门规定：若t∈(2.9,3.1]，则该零件为优等品；若t∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：尺寸[2.7,2.8](2.8,2.9](2.9,3.0](3.0,3.1](3.1,3.2](3.2,3.3]甲机床零件频数23202041乙机床零件频数35171384(1)设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．若将频率视为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；(2)对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解(1)设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为X31－1P0.80.140.06则有E(X)＝3×0.8＋1×0.14＋(－1)×0.06＝2.48(元)．所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元．(2)由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．制作2×2列联表如下：甲机床乙机床合计优等品403070非优等品102030合计5050100计算K2的观测值k＝－250×50×70×30＝10021≈4.762.考察参考数据并注意到3.8414.7625.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．11．(本小题10分)(文)(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝110xi＝80，i＝110yi＝20，i＝110xiyi＝184，i＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解(1)由题意知n＝10，x－＝1ni＝1nxi＝8010＝8，y－＝1ni＝1nyi＝2010＝2，又lxx＝i＝1nx2i－nx－2＝720－10×82＝80，lxy＝i＝1nxiyi－n×x－×y－＝184－10×8×2＝24，由此得b＝lxylxx＝2480＝0.3，a＝y－－bx－＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.30)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．12．(本小题10分)(理)(2013·辽宁大连一模)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的频率分布直方图如下：已知样本中身高在[150,155)cm的女生有1人．(1)求出样本中该校男生的人数和女生的人数；(2)估计该校学生身高在170～190cm之间的概率；(3)从样本中身高在185～190cm之间的男生和样本中身高在170～180cm之间的女生中随机抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X.求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．解(1)设女生的人数n，∴1n＝1150×5，∴n＝30.∵抽取的样本人数700×10%＝70，∴样本中该校有男生40人和女生30人．(2)由频率分布直方图可得出样本中身高在170～190cm之间的学生人数有37人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～190cm之间的频率等于3770，所以估计该校学生身高在170～190cm之间的概率等于3770.(3)由频率分布直方图可得出样本中身高在185～190cm之间的男生有2人和样本中身高在170～180cm之间的女生有4人，∴X的可能取值为1,2,3，∵P(X＝1)＝15，P(X＝2)＝35，P(X＝3)＝15，∴X的分布列为X123P153515∴数学期望E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.12．(本小题10分)(文)(2013·石家庄高三模拟)为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间(分钟)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间(分钟)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]人数1020402010(1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”？表3：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063