搜索
1第4节重力势能理解领悟重力势能是机械能的重要内容。要从重力做功与路径无关的特点出发，理解建立重力势能概念的可能性，掌握重力势能的定义式，明确重力做功和重力势能变化的关系。基础级1.研究重力势能的出发点我们知道，物体由于被举高而具有重力势能。而物体的高度发生变化时，必然伴随着重力做功。因此，重力势能与重力做功是密切相关的，认识重力势能不能脱离对重力做功的研究。研究重力做功，是我们研究重力势能的出发点。2.重力做功与路径无关重力做功有什么特点呢？重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，其方向竖直向下，在地面附近其大小可看作恒量，G=mg。当物体下降时，重力做正功；当物体上升时，重力做负功。如图5—25所示，质量为m的物体经三条不同的路径，从高度是h1的位置运动到高度是h2的位置。第一次物体竖直向下运动（图中路径1）：重力所做的功WG=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2。第二次物体沿倾斜直线向下运动（图中路径2）：设倾斜直线与竖直方向成θ角，物体通过的距离为s，则重力所做的功WG=mgscosθ=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2。第三次物体沿任意路径向下运动（图中路径3）：我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每一小段都可看成一段倾斜的直线，则重力所做的功iiGmghW=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2。可见，物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置（高度）有关，而跟物体运动的路径无关。同学们还可分析一下重物向上运动的情况，看看这一结论是否同样成立。3.如何确定重力势能的表达式？在本章“追寻守恒量”一节中，我们已经知道，物体的势能是物体凭借其位置所具有的能量。那么，重力势能应该与哪些物理量有关呢？重力势能应跟物体与地球的相对位置有关，还应跟物体受到的重力有关。从上述重力做功特点的分析中可以发现，物体所受的重力mg与它所处位置的高度h的乘积mgh，是一个有特殊意义的物理量。它的特殊意义在于，它一方面与重力所做的功密切相关，另一方面又随着高度的变化而变化，它恰恰是我们要寻找的重力势能的表达式。因此，物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，即Ep=mgh。4.重力做功与重力势能变化的关系有了重力势能的表达式，我们就可以把上述重力所做的功的表达式写成WG=Ep1－Ep2。可见，当物体向下运动时，重力做正功，WG＞0，则Ep1＞Ep2，即重力势能减少，重力势能减少的数量等于重力所做的功；当物体向上运动时，重力做负功（物体克服重力做功），WG＜0，则Ep1＜Ep2，即重力势能增加，重力势能增加的数量等于克服重力所做的功。5.重力势能是状态量、标量由重力势能的定义可知，重力势能跟物体与地球的相对位置有关。物体的位置发生了变化，物体的重力势能也就发生变化，所以重力势能是状态量。重力势能的变化量与重力所做图5－253h2hh1122的功相对应，而重力的功是标量，重力势能当然也是标量，其单位与功的单位相同，都是焦耳。6.重力势能具有相对性如果计算放在桌子上的物体具有多大的重力势能，可能不同的人会得出不同的结果。这是因为，不同的人可能选择不同的水平面做参考。在选定的参考平面上的物体的重力势能就为0；物体在这个参考平面以上，重力势能就为某一正值；物体在这个参考平面以下，重力势能就为某一负值。对于放在桌子上的物体而言，如果以物体的重心所在的水平面为参考平面，该物体的重力势能就为0；如果以水平地面为参考平面，该物体的重力势能就为正值；如果以水平天花板为参考平面，该物体的重力势能就为负值。可见，由于重力势能的大小与参考平面的位置有关，而这个参考平面可以任意选取，所以重力势能具有相对性。重力势能参考平面的选取一般以解决问题时简便为原则，若无特别说明，通常以水平地面为参考平面。7.重力势能的变化与参考平面的选取无关尽管重力势能的数值会因参考平面选取的任意性而具有不确定性，但这并不会我们对问题的研究。这是因为在研究具体问题时，我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是物体重力势能的变化，重力势能的变化才与做功及能量转换有关。事实上，选择不同的参考平面对重力势能的差值没有影响，也就是说，重力势能的变化与参考平面的选取无关。例如：图5—25中，若选取水平地面为参考平面，物体在初位置和末位置的重力势能分别为Ep1=mgh1,Ep2=mgh2，物体从初位置到末位置，重力势能的变化△Ep=Ep2－Ep1=mgh2－mgh1=－mg(h1－h2)=－mgh，即重力势能减少了mgh；若选取物体的末位置所在水平面为参考平面，物体在初位置和末位置的重力势能分别为Ep1=mgh,Ep2=0，物体从初位置到末位置，重力势能的变化△Ep=Ep2－Ep1=0－mgh=－mgh，即重力势能减少了mgh；若选取物体的初位置所在水平面为参考平面，物体在初位置和末位置的重力势能分别为Ep1=0,Ep2=－mgh，物体从初位置到末位置，重力势能的变化△Ep=Ep2－Ep1=－mgh－0=－mgh，即重力势能减少了mgh。可见，选取不同的参考平面，只影响物体重力势能的数值，而不影响重力势能的差值。8.重力势能属于物体和地球组成的系统重力是地球与物体相互吸引而引起的，如果没有地球队物体的吸引，就谈不上重力做功和重力势能。物体所在的高度是由物体同地球组成的系统内部的相对位置所决定的，因此重力势能是这个系统的，而不是物体单独具有的。我们平常所说的“物体的重力势能”，只是一种习惯而简化的说法。发展级9.对“说一说”栏目问题的提示教材“说一说”栏目提出了这样的问题：如果重力做功与路径有关，还能把mgh叫做重力势能吗？答案是：不能。因为物体的势能是物体凭借其位置所具有的能量，正是因为重力做功与路径无关，说明与重力做功相关的能量才是一种“物体凭借其位置所具有的能量”，才是一种势能，才能把mgh叫做重力势能。如果重力做功与路径有关，那么与重力做功相关的能量也就愈路径有关，就不能把mgh叫做重力势能。正如摩擦力做功与路径有关，对于摩3擦力就不能引人相应的“摩擦力势能”。10.重力势能表达式的适用范围需要指出的是，我们将mgh叫做物体的重力势能是有一定的条件的，那就是物体必须处于地面附近，当物体的离地高度相对于地球半径不可忽略时，Ep=mgh便没有意义了。这是因为该定义式中的g是地球表面附近的重力加速度，而离地面越高，重力加速度越小，当物体的离地高度h相对于地球半径不可忽略时，该处的重力加速度与地表重力加速度g的差异便不能忽略。那么，若离地h高处的重力加速度为gh，能否用mghh表示物体在该处的重力势能呢？不行。因为从地表到离地h高处，重力加速度由g逐渐减小为gh，把质量为m的物体由地表提升到离地h高处，物体克服重力所做的功不等于mghh。由于在将物体提升的过程中，重力加速度随高度的变化不是线性的，物体克服重力所做的功也不等于hggmh2，所以也不能用hggmh2表示物体在离地h高处的重力势能。当物体的离地高度相对于地球半径不可忽略时，我们把由地球与物体之间的引力决定的势能称为“引力势能”。关于引力势能的表达式，高中阶段不作介绍，感兴趣的同学可寻找相关资料自学。应用链接本节课的应用主要涉及对重力做功的特点、重力势能的表达式、重力势能的相对性以及重力势能的变化与重力做功的关系等的理解，涉及重力做功和重力势能的计算。基础级例1关于重力势能，以下说法中正确的是（）A.某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的B.重力势能为０的物体，不可能对别的物体做功C.物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变D.只要重力做功，重力势能一定变化提示根据重力势能的表达式、重力势能的决定因素、重力做功与重力势能变化的关系进行判断。解析由重力势能的表达式Ep=mgh可知，由于高度h具有相对性，重力势能的大小也具有相对性，即处于某个位置的某个物体，在选择不同的参考平面时，重力势能的大小是不同的。重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，所以重力势能为０的物体，是指物体处于参考平面上，并不能表明物体不具有做功的本领。如在地面上流动的一薄层水，若取地面为参考平面，则其重力势能为０，但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功。物体的重力势能是由物体的重力和物体的高度共同决定的，只要物体的高度发生变化，物体的重力势能就一定发生变化。例如，当物体沿斜面匀速下滑时，高度减小，重力势能将减小。重力的方向总是竖直向下的，重力做功时物体的高度肯定发生变化，重力势能也一定发生变化。可见，正确选项为D。点悟重力势能的大小是相对的，重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。4重力做功是重力势能变化的量度，因此重力势能的变化量和重力做功的数值总是相等的。例2一条柔软的均匀链条质量为m，长度为l，平放在水平桌面上。用力提链条的一端将链条慢慢提起，直至末端将要离开桌面的过程中，拉力做的功为多少?提示拉力的大小时刻在变，是变力，它对链条做的功全部用来克服重力的作用，用于增加链条的重力势能。所以，只要能求出链条重力势能的增量，，就能求出拉力所做的功。解析链条的末端将要离开地面时，链条的重心提高到离桌面2l的高度，其重力势能的增量为2lmgEp。根据重力做功和重力势能变化的关系可知，克服重力做功2lmgEWp。拉力做的功等于克服重力做的功，即mglWWF21。点悟求变力功的问题，有一类可将变力功转化为求重力所做的功，进而通过求重力势能的变化来达到求变力功的目的。例3在水平地面上平铺着n块相同的砖，每块砖的质量都为m，厚度为d。若将这n块砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？提示外力所做的功，等于组成的系统重力势能的增加。解析n块砖平铺在水平地面上时，系统重心离地的高度为2d。当将它们叠放起来时，系统重心离地的高度为2nd。所以，至少需要做功mgdnndnmgndnmgEEWpp)1(212212。点悟本题也可这样求解：将第二块砖叠上时，做功W2=mgd；将第三块砖叠上时，做功W3=mg·2d；……将第n块砖叠上时，做功Wn=mg(n-1)d。所以，将这n块砖一块一块地叠放起来，至少需要做功dnmgdmgmgd)1(232mgdnnmgdnn)1(21)1(2)1(1。显然，上述用重力势能变化的解法要简单些。，例4如图5—26所示，质量为m物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求物体重力势能的增加量。提示物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧拉伸长度之差。解析物体离开地面后，弹簧的伸长量为kmgx。图5—26kFm5可见，物体上升的高度为kmghxhh。从而，物体重力势能的增加量为)(kmghmghmgEp。点悟由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力作用点上移的高度，如不注意这一点，往往会造成错解。发展级例5如图5—27所示，圆柱形水箱高为5m，容积为50m3，水箱底部接通水管A，顶部接通水管B。开始时箱中无水，若仅使用A管或仅使用B管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止，试计算两种情况下外界各需做多少功？（设需注入的水开始时均与箱底等高，g取10m/s2）提示注水的过程外力克服水的重力做功，增加了水的重力势能，由于是缓慢注水，水的动能不增加，所以外力做功数值上就等于水增加的重力势能。解析以H表示水箱的高度。水若从A管注入，整箱水的重心被升高2H，外界做功251050102231HVgHmgWJ=1.25×106J。水若从B管注入，整箱水应先升高到H的箱顶处，故外界做的功W2=2W1=2×1.25×106J=2.5×106J。点悟本题是非常实用的一个例子，造成这种差异的原因是因为相同质量的水被提升的高度不一样，为了节省能源，我们应该采用从下方注水的方式。有些同学认为，两种注水方式水的重心上升高度相同，故做功相同。这种想法只是注意到了前后两个平衡状态，而没