(文章)数学思想方法专题回顾

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第1页共6页版权所有@少智报·数学专页数学思想方法专题回顾数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁．随着中考改革的深入，中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察．初中阶段常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想、建模思想等．一、数形结合思想就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略．例1.某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AEMN．准备在形如RtAEH△的四个全等三角形内种植红色花草，在形如RtAEH△的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：品种红色花草黄色花草紫色花草价格（元/米2）6080120设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：（1）S与x之间的函数关系式为S；（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．分析：对于（1），运用勾股定理即可表示出S与x之间的函数关系；对于（2）利用利用数量关系“单位面积单价×面积=总价”得到W与x之间的函数关系式后，用配方法即可得到W的最小值；对于（3）在RtEMH△中，利用勾股定理建立EM的的方程即可求得EM长．解：（1）222(4)2816.xxxx或（2）604AEBEFGNMNPQMNPQWSSS△正方形正方形正方形80(-S)+120=60222214(4)80[(4)]120.2xxxxxx=8021601280.xx配方，得280(1)1200.Wx当1x时，1200W最小值元．（3）设EMa米，则(1)MHa米.在RtEMH△中，2222(1)13,aa解得119.2a0,191.2aa图1ABFCGDHQPNM红黄紫E彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第2页共6页版权所有@少智报·数学专页EM的长为1912米．点评：本题考查勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值的综合运用，本题构思巧妙，新颖独特，在我们非常熟悉的背景中，提出了与二次函数的问题，可谓匠心独运,涉及的数学思想有数形结合思想、配方法等数学思想方法二、分类讨论思想数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答．例2．如图，已知A、B是线段MN上的两点，4MN，1MA，1MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？分析：第（1）问利用三角形两边之和大于第三边；第（2）问利用勾股定理列方程，但要分三种情况讨论；第（3）问先列出函数关系式，再求二次函数的最大值即可．解：（1）在△ABC中，∵1AC，xAB，xBC3．∴xxxx3131，解得21x．（2）①若AC为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，无解．②若AB为斜边，则1)3(22xx，解得35x，满足21x．③若BC为斜边，则221)3(xx，解得34x，满足21x．∴35x或34x．（3）在△ABC中，作ABCD于D，设hCD，△ABC的面积为S，则xhS21．①若点D在线段AB上，则xhxh222)3(1．∴22222112)3(hhxxhx，即4312xhx．∴16249)1(222xxhx，即16248222xxhx．∴462412222xxhxS21)23(22x（423x≤）．CABNM图2CABNM图3D彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第3页共6页版权所有@少智报·数学专页当23x时（满足423x≤），2S取最大值21，从而S取最大值22．②若点D在线段MA上，则xhhx2221)3(．同理可得，462412222xxhxS21)23(22x（413x≤），易知此时22S．综合①②得，△ABC的最大面积为22．点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点：（1）正确选择一个分类标准；（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏．三、转化思想数学解题的过程实际就是转化的过程，换句话说，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解决．例3．在实数范围内定义运算“”，其法则为：22abab，求方程（43）24x的解．分析：本题先根据运算法则，转化为一元二次方程，再直接利用开平方法解之解：∵22abab，∴2222(43)(43)77xxxx．∴22724x．∴225x．∴5x．点评：本题是一道新定义型的计算题，只要转化成常规的一元二次方程即可，本题既可用直接开平方法又可用因式分解法．本题主要是考查学生对新定义运算的理解和阅读能力以及转化能力．四、方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法．例4．2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．(1)在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？(2)在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？(3)甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天．．传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天．．传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？CBADMN图4彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第4页共6页版权所有@少智报·数学专页分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方程即可．解：(1)18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；(2)平均每天新增加267452.65人，继续按这个平均数增加，到5月26日可达52.6×5+267=530人；(3)设每天传染中平均一个人传染了x个人，则1(1)9xxx，2(1)9x，解得2x(x=-4舍去)．再经过5天的传染后，这个地区患甲型H1N1流感的人数为(1+2)7=2187（或1+2+6+18+54+162+486+1458=2187），即一共将会有2187人患甲型H1N1流感．点评：本题是一道以社会热点为背景综合应用题，它综合了一元二次方程的根的概念、解法以及统计知识等重要知识，综合地考察学生的应用能力、分析和解决问题的能力．五、归纳思想归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现，有新创新，但应注意，猜想的结论是否正确，必须经过严格的验证，才能辨别是非．随着新课程的改革，这类探究猜想性问题也引起了大家的高度重视．例5．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点)(kkkyxP，处，其中11x，11y，当k≥2时，]52[]51[])52[]51([5111kkyykkxxkkkk，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D（4，402）分析：考虑供选的答案中x、y均不同，因此可只计算一部分，但考虑到x的值都很小，故在计算时相差很小，不是很容易看出规律，因而计算y的值，代入求得y1=y2=y3=y4=y5=1，y6=y7=…=y10=2，由此猜测每5个y的值增加1，故y2009=y2006=402，所以选D．解：选D．点评：对于一些看似比较复杂的选择题，可以通过结果去探索解题的思路，此外，在计算时，要学会挑比较简单、容易分辨的式子去计算．累计确诊病例人数新增病例人数0421961631932671775673074161718192021日本2009年5月16日至5月21日甲型H1N1流感疫情数据统计图人数(人)050100150200250300日期彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第5页共6页版权所有@少智报·数学专页六、整体思想在解题时，通过对题目结构的准确把握、跳出常规处理的圈子，从整体的角度来理解题目，这样可揭示出有关数量之间的本质关系，从而找到解题的突破口．例6．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则21xx+12xx的值为．分析：考查了根与系数的关系，利用材料可得x1+x2＝-6，x1·x2=3，再把所求的式子通分，然后利用222121212()2xxxxxx，整体代入即可解：因为x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，所以可得x1+x2＝-6，x1·x2=3，所以222121212()2xxxxxx=（-6）2-6=30，所以21xx+12xx=221212303xxxx10．点评：这是一个模仿性的题目，利用所给的知识，把求的结论想法化为给出的东西，考查学生的运用知识解决实际问题的能力．七、建模思想“方程、函数”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型．它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界．诸如行程问题、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳力分配等问题，都可以抽象成方程（组）模型，通过布列方程来解决．例7．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？分析：对于（1），利用数量关系“每台利润×台数=总利润”；对于（2），由“总利润=4800”建立一元二次方程即可；对于（3），利用顶点公式或配方法可求每天销售这种冰箱的最高利润．解：（1）根据题意，得(24002000)8450xyx，即2224320025yxx．（2）由题意，得22243200480025xx．整理，得2300200000xx．解这个方程，得12100200xx，．要使百姓得到实惠，取200x．所以，每台冰箱应降价200元．彰显数