(新课标)高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》课件新人教A版选修1-1

2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2想一想：如何判断方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和y2a2－x2b2＝1(a0，b0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a|F1F2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|PF1|－|PF2|＝2a(02a|F1F2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB0)或进行分类讨论．题型一求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P3，154，Q－163，5；(2)c＝6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和y2a2－x2b2＝1(a0，b0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)或x2m＋y2n＝1(mn0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)或x2λ－y26－λ＝1(0λ6)．解(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于点P3，154和Q－163，5在双曲线上，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解之得a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.法二设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.(2)法一依题意，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．依题设有a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得a2＝5，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.法二∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0λ6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29－x27＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|（－5－0）2＋（6＋6）2－（－5－0）2＋（6－6）2|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y216－x220＝1.题型二双曲线定义的应用【例2】如图，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[思路探索](1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.题型三与双曲线有关的轨迹问题【例3】(12分)如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．审题指导建立坐标系→利用正弦定理角化边→利用定义判断→C点轨迹→写出轨迹方程→剔除不满足条件的点[规范解答]以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．(2分)由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．(4分)∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2，(6分)从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22|AB|.(8分)由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．(10分)∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．(12分)【题后反思】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．【变式3】如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝310＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1(x≤－32)．误区警示忽略双曲线焦点位置致误【示例】方程x22－m＋y2|m|－3＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．[错解]由2－m0，|m|－30解得－3m2，∴m的取值范围是{m|－3m2}．只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．[正解]依题意有2－m0|m|－30或2－m0，|m|－30，解得－3m2或m3.∴m的取值范围是{m|－3m2或m3}．答案{m|－3m2或m3}方程x2m＋y2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m、n应满足mn0或nm0，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m、n应满足mn0，当m0，n0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．