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第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1.1变化率问题【课标要求】1．通过实例分析、了解函数平均变化率的意义．2．会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．3．掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤．【核心扫描】1．求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(重点)2．理解实际问题中的平均变化率．(难点)自学导引1．函数的变化率的定义函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f（x2）－f（x1）x1－x2，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx.即ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx称为函数在区间[x1，x2]上的平均变化率．2．平均变化率的计算公式自变量的改变量Δx＝x2－x1↓函数的改变量Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)↓ΔyΔx＝y2－y1x2－x1＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx想一想：1.函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？提示不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2，2]上先减后增．2．平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx、Δy的值是否可为任意实数？提示否．Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.名师点睛1．关于平均变化率的理解关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)Δx是自变量x2相对于x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．(3)在公式ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0.2．一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率．3．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f（x1）－f（x0）x1－x0表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为f（x0＋Δx）－f（x0）Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．题型一求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[思路探索]解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）－x0＝[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）Δx＝6x0·Δx＋3（Δx）2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.规律方法求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)得平均变化率ΔyΔx＝f（x1）－f（x0）x1－x0.【变式1】在例1中，分别求函数在x0＝1，2，3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．解由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1k2k3.题型二求物体运动的平均速度【例2】以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间的平均速度v；(2)求物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度．[思路探索]由物体运动方程→写出位移变化量Δs→ΔsΔt解(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0＋12gt20＝Δtv0－gt0·Δt－12g(Δt)2.v＝ΔsΔt＝Δtv0－gt0·Δt－12g（Δt）2Δt＝v0－gt0－12gΔt.(2)当t0＝10s时，Δt＝0.4s，则物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.规律方法已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率．【变式2】动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.解动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为＝10（20＋Δt）＋5（20＋Δt）2－10×20－5×202Δt＝210Δt＋5（Δt）2Δt＝5Δt＋210，(1)当Δt＝1时，v＝5×1＋210＝215(m/s)(2)当Δt＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)(3)当Δt＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．题型三平均变化率的实际应用【例3】(12分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率．(2)体温T(t)对时间t的变化率．审题指导利用平均变化率的定义求解．[规范解答](1)ΔTΔt＝T（10）－T（0）10＝12015＋15－1205－1510＝－16℃/min.∴从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率为－16℃/min(6分)(2)设时间的增量为Δt，则体温T(t)的改变量为ΔT＝T(t＋Δt)－T(t)＝120t＋Δt＋5＋15－120t＋5－15＝－120Δt（t＋Δt＋5）（t＋5），∴ΔTΔt＝－120（t＋Δt＋5）（t＋5）.(10分)故体温T(t)对时间t的变化率为－120（t＋Δt＋5）（t＋5）.(12分)．【题后反思】平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．【变式3】一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的膨胀率．解设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，∴ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.误区警示因概念不清而出错【示例】将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，则m的值为________．[错解]∵V＝43πR3，而从R＝1到R＝m体积膨胀率为283π，∴43πm343π×13＝283π，∴m＝3283π.以上解法没有理解“膨胀率”的概念，从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率即为R∈[1，m]时的平均变化率．[正解]ΔV＝4π3m3－4π3×13＝4π3(m3－1)，∴ΔVΔR＝4π3（m3－1）m－1＝283π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)．物理学上的平均速度、膨胀率等就是函数的平均变化率．