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1.1.2四种命题【课标要求】1．了解四种命题的概念．2．会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．【核心扫描】1．结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点)2．对条件式的结论进行否定．(易错点)自学导引四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和，那么这样的两个命题叫做．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“”．结论条件互逆命题逆命题若q，则p(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“”．条件的否定结论的否定否命题若綈p，则綈q(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“”．结论的否定条件的否定逆否命题若綈q，则綈p想一想：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．名师点睛四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若ab，则|a||b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．题型一四种命题的概念【例1】命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[思路探索]同时否定原命题的条件和结论，即得到否命题．解析同时否定原命题的条件和结论，得到的否命题为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．答案B规律方法原命题的逆命题、否命题、逆否命题，可按如下方式得到：交换原命题的条件和结论，得到逆命题．同时否定原命题的条件和结论，得到否命题．交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．【变式1】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()．A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案B题型二四种命题之间的转换【例2】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x10，那么x0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路探索]可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x0，那么x10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构关系写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．【变式2】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．解(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.题型三四种命题真假的判断【例3】(12分)有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若ab，则a2b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－60”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．审题指导可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．[规范解答]①“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，是真命题．(3分)②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但ab，故是假命题．(6分)③“若x－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4－3，不是不等式的解，故是假命题．(9分)④“相等的角是同位角”是假命题．(12分)答案1【题后反思】要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．【变式3】下列命题中，是真命题的是()．A．命题“若0logab1，则0a1b”的逆命题B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A，逆命题为“若0a1b，则0logab1”，由对数函数图象得，当0a1b时，logab0，∴A为假；B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案D误区警示写否命题时忽略前提条件而出现错误【示例】将命题“a0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”，写成“若p，则q”的形式，并写出它的否命题．[错解]“若p，则q”的形式：若a0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；否命题；若a≤0，则函数y＝ax＋b的值随x的不增大而不增大．原命题有两个条件：“a0”和“x增大”，其中“a0”是前提条件，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a0”和“x增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义了，应在不改变函数性质的前提下完成解答．[正解]“若p，则q”的形式；当a0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也随着增大；否命题：当a0时，若x不增大，则函数y＝ax＋b的值也不增大．当一个命题有前提条件而要写出其他三种命题时，必须保留前提条件，也就是前提条件始终不动．