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1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件【课标要求】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．【核心扫描】1．判断充分条件、必要条件、充要条件．(重点)2．证明充要条件和求充要条件．(难点)自学导引1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件⇒充分必要充分必要试一试：在逻辑推理中p⇒q，能否表达成以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.提示可以．这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示p⇒q，只是说法不同而已．2．充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．想一想：p是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别？提示p是q的充要条件指的是p⇒q是充分性，q⇒p是必要性，即p是条件，q是结论；p的充要条件是q中，q⇒p是充分性，p⇒q是必要性，即q是条件，p是结论．充要条件充要条件名师点睛1．充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)定义法若p⇒q，但qp，则p是q的充分而不必要条件；若q⇒p，但pq，则p是q的必要而不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}．若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充分而不必要条件；若BA，则p是q的必要而不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，BA，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)传递性法由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系．(4)等价命题法当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题．2．应用充分条件、必要条件、充要条件时需注意的问题(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，从结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件；(4)要证明命题的条件是充要的，就是既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[思路探索]解答本题首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．解(1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，pq，又取A＝30°，B＝120°qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．规律方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【变式1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)?(1)p：△ABC中，b2a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解(1)△ABC中，∵b2a2＋c2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2a2＋c2.∴p⇒q，qp，故p是q的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴pq，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p是q的充要条件．题型二充要条件的证明【例2】求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[思路探索]本题的条件是p：m≥2，结论是q：方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根．证明该问题，充分性的证明是p⇒q，必要性的证明是q⇒p.证明(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝10，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－20，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以Δ＝m2－4≥0，x1＋x2＝－m0，即m≥2或m≤－2，m0，所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．规律方法充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．【变式2】证明不等式ax2＋2x＋10恒成立的充要条件是a1.证明当a＝0时，2x＋10不恒成立；当a≠0时，ax2＋2x＋10恒成立⇔a0Δ＝4－4a0⇔a1.所以不等式ax2＋2x＋10恒成立的充要条件是a1.题型三充分条件和必要条件的应用【例3】(12分)已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．审题指导构造集合M＝{x|p（x）}；N＝{x|q（x）}―――→求解M、N由已知MN――――――→构造a的不等式解关于a的不等式组→结果[规范解答]令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)·(x－2)≥0}＝{x|x≤－12或x≥2}；(2分)N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，(4分)由已知p⇒q，且qp，得MN.(6分)所以a－2≥－12a2，或a－2－12a≤2⇔32≤a2或32a≤2⇔32≤a≤2(10分)即所求a的取值范围是[32，2]．(12分)【题后反思】在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方向及推出与子集的关系．【变式3】是否存在实数p，使4x＋p0是x2－x－20的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解由x2－x－20，解得x2或x－1，令A＝{x|x2或x－1}，由4x＋p0，得B＝{x|x－p4}，当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x－p4≤－1⇒x2－x－20，∴当p≥4时，4x＋p0是x2－x－20的充分条件．误区警示各种条件混淆不清致错【示例】一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()．A．a0B．a0C．a－1D．a1[错解]∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴Δ0，x1x20.即4－4a01a0⇔a0，故选A.先按充要条件求解，求出a的范围后，缩小范围即可确定充分不必要条件．[正解]错解求的其实是一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件．本题要求的是充分不必要条件．由于{a|a－1}{a|a0}，故答案应为C.答案C本题探求的是充分不必要条件，正确区分各种条件的关系是解题的关键．如若要证“p是q的充要条件”则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”，则q是条件，p是结论，这是易错点．