(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习审题解题回扣中档大题保分练(六)文

1中档大题保分练(六)(推荐时间：50分钟)1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为3π4，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈π2，3π4.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；(2)若tanθ＝－43，求OA→·OB→的值．解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ)．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝π4，∠B＝π－π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB|sinπ4＝|OA|sinB，即|OA|＝22sin3π4－θ.(2)由(1)，得OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cosθ＝42sin3π4－θcosθ.因为tanθ＝－43，θ∈π2，3π4，所以sinθ＝45，cosθ＝－35.又sin3π4－θ＝sin3π4cosθ－cos3π4sinθ＝22×－35－－22×45＝210，故OA→·OB→＝42×210×－35＝－1225.2．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.(1)求证：MB⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BB1－C的余弦值．(1)证明∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形，又∵点M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC，2又AC∩AB＝A，∴MB⊥平面ABC.(2)解如图建立空间直角坐标系，设菱形ABB1A1边长为2，得B1(0，－1，3)，A(0,2,0)，C(3，1,0)，A1(0,1，3)．则BA1→＝(0,1，3)，BA→＝(0,2,0)，BB1→＝(0，－1，3)，BC→＝(3，1,0)．设面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥BA→，n1⊥BA→1得，2y1＝0，y1＋3z1＝0，令x1＝1，得n1＝(1,0,0)．设面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥BB1→，n2⊥BC→得－y2＋3z2＝0，3x2＋y2＝0.令y2＝3，得n2＝(－1，3，1)，得cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－11·5＝－55.又二面角A1－BB1－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为55.3．某班体育课进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：每位同学有4次投篮机会，其中一次在三分线外投篮，投中得3分，不中不得分，其余3次在罚球线外投篮，每投中一次得1分，不中不得分，已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为12，且在比赛中得6分的概率为427.(1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率；(2)求该同学参加比赛所得分数X的分布列及数学期望．解(1)设该同学在罚球线外投篮命中的概率为p，在比赛中得6分需4次投篮全中，则12·p3＝427，解得p＝23.(2)X的可能取值有0,1,2,3,4,5,6，3则P(X＝0)＝12·133＝154；P(X＝1)＝12·C13·23·132＝19；P(X＝2)＝12·C23·232·13＝29；P(X＝3)＝12·133＋12·233＝16；P(X＝4)＝12·C13·23·132＝19；P(X＝5)＝12·C23·232·13＝29；P(X＝6)＝12×233＝427.所以所求分布列为X0123456P1541929161929427数学期望E(X)＝0×154＋1×19＋2×29＋3×16＋4×19＋5×29＋6×427＝72.4．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log21an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋470成立的正整数n的最小值．解(1)设等比数列{an}的公比为q.由2a1＋a3＝3a2，a2＋a4＝a3＋，得a1＋q2＝3a1q，①a1q＋q3＝2a1q2＋4，②由①，得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意舍去；当q＝2时，代入②，得a1＝2.则an＝2·2n－1＝2n.(2)因为bn＝an＋log21an＝2n＋log212n＝2n－n，所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－2n1－2－n＋n2＝2n＋1－2－12n－12n2.因为Sn－2n＋1＋470，4所以2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋470，即n2＋n－900，解得n9或n－10.又n∈N*，故使Sn－2n＋1＋470成立的正整数n的最小值为10.