(湖南专用)2014届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(5)理(含解析)

-1-45分钟滚动基础训练卷(五)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·开封模拟]设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.792．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C.3D.23．[2013·常德一中月考]在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC中最短边的长等于()A.63B.62C.32D.124．[2013·长春模拟]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.则cos(α－β)的值为()A.13B.23C.35D.455．已知sinβ＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tanα，则实数m的值为()A．2B.12C．3D.136．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积等于()A.17B.15C.152D．37．已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈R，若函数h(x)＝f(x＋α)的图象关于点－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝()A.π3B.π4C.π2D.π68．将函数y＝sinωx(ω0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象图G5－1所对应函数的解析式是()A．y＝sinx＋π6B．y＝sinx－π6C．y＝sin2x＋π3D．y＝sin2x－π3-2-二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．10．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．图G5－211．[2013·九江高三联考]如图G5－2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°.则塔高AB＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a＝12，32，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若a∥b，求sinx和cos2x的值；(2)若a·b＝2cos12kπ＋13π6＋x(k∈Z)，求tanx＋5π12的值．13．[2013·衡阳八中测试]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足-3-(2a－c)BA→·BC→＝cCB→·CA→.(1)求角B的大小；(2)若|BA→－BC→|＝6，求△ABC面积的最大值．-4-14．如图G5－3，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，该救援船到达D点需要多长时间？图G5－3-5-45分钟滚动基础训练卷(五)1．A[解析]将sinπ4＋θ＝13展开得22(cosθ＋sinθ)＝13，两边平方得12(1＋sin2θ)＝19，所以sin2θ＝－79.2．D[解析]由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sinB＝2sinA，∴ba＝sinBsinA＝2.3．A[解析]由已知可得A＝75°，则△ABC中最短的边是b，由正弦定理得b＝csinBsinC＝63.4．C[解析]∵|a－b|＝255，∴a2－2a·b＋b2＝45，又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．∴cos(α－β)＝2－452＝35.5．B[解析]因为sinβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，也即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)·cos(α＋β)sinα，所以tan（α＋β）tanα＝1＋m1－m＝3，所以m＝12.6．C[解析]∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0.即(b＋c)·(b－2c)＝0.∴b＝2c.又a＝6，cosA＝b2＋c2－a22bc＝78，解得c＝2，b＝4.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4×2×1－782＝152.7．C[解析]∵f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1＝2sin2x－π3，∴h(x)＝f(x＋α)＝2sin2x＋2α－π3.因为函数h(x)的图象的对称中心为－π3，0，∴－2π3＋2α－π3＝kπ，k∈Z.∴α＝（k＋1）π2.又α∈(0，π)．∴α＝π2.8．C[解析]将函数y＝sinωx(ω0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为y＝sinωx＋π6，由图象知，ω7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2.9．－142[解析]依题意得sinα－cosα＝12，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2-6-＝2，即(sinα＋cosα)2＋122＝2，故(sinα＋cosα)2＝74；又α∈0，π2，因此有sinα＋cosα＝72，所以cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22（sinα－cosα）＝－2(sinα＋cosα)＝－142.10．27[解析]在△ABC中，根据ABsinC＝ACsinB＝BCsinA，得AB＝ACsinB·sinC＝332sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin23π－C＝4sinC＋23cosC＝27sin(C＋φ)tanφ＝32，因此AB＋2BC的最大值为27.11．156[解析]因为∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝135°，在三角形BCD中，根据正弦定理可知CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，即30sin135°＝BCsin30°，解得BC＝152，在直角△ABC中，tan60°＝ABBC＝3，所以AB＝3BC＝3×152＝156.12．解：(1)∵a∥b，∴12sinx＝32cosx.于是sinx＝3cosx，又∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝14，又∵x∈0，π2，∴sinx＝1－cos2x＝1－14＝32.cos2x＝2cos2x－1＝12－1＝－12.(2)∵a·b＝12cosx＋32sinx＝cosπ6sinx＋sinπ6cosx＝sinx＋π6，而2cosx＋12kπ＋13π6＝2cos2kπ＋x＋π6＋2π＝2cosx＋π6(k∈Z)，于是sinx＋π6＝2cosx＋π6，即tanx＋π6＝2.∴tanx＋5π12＝tanx＋π6＋π4＝tanx＋π6＋tanπ41－tanx＋π6·tanπ4＝2＋11－2×1＝－3.13．解：(1)由题意，条件可化为(2a－c)accosB＝cabcosC，即(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，又∵sinA0，∴cosB＝12，即B＝π3.(2)由题意知b＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，由基本不等式可知6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤6.-7-故S＝12acsinB≤12×6×32＝332，当△ABC为正三角形时，最大面积为332.14．解：由题意知AB＝5(3＋3)nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(nmile)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(nmile)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(nmile)，则需要的时间t＝3030＝1(h)．答：救援船到达D点需要1h.