(湖南专用)2014届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(6)理(含解析)

-1-45分钟滚动基础训练卷(六)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b2．[2012·大连考前检测]若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π23．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|4．[2013·益阳高三联考]已知向量a，b，c中任意两个都不共线，且a＋b与c共线，b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．05．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)6．如图G6－1，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD→·AC→的值等于()图G6－1A．0B．4C．8D．－47．[2012·郑州质检]在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形8．已知两点M(－3，0)，N(3，0)，点P为坐标平面内一动点，且|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P(x，y)到点M(－3，0)的距离d的最小值为()A．2B．3C．4D．6二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．10．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m＝________．11．[2013·常德一中月考]如图G6－2，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．图G6－2-2-三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝3|ka＋b|，其中k0.(1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值；(2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使|a＋λb|的值最小，并对这一结果作出几何解释．-3-13．[2013·湖南模拟]已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，设向量a＝(sinx，2)，b＝2sinx，12，c＝(cos2x，1)，d＝(1，2)，当x∈[0，π]时，求不等式f(a·b)＞f(c·d)的解集．-4-14．如图G6－3，平面上定点F到定直线l的距离|FM|＝2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(PF→＋PQ→)·(PF→－PQ→)＝0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点N，已知NA→＝λ1AF→，NB→＝λ2BF→，求证：λ1＋λ2为定值．图G6－3-5-45分钟滚动基础训练卷(六)1．B[解析]由角平分线的性质得|AD→|＝2|DB→|，即有AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)＝23(a－b)．从而CD→＝CA→＋AD→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.故选B.2．D[解析]∵a·c＝a·a－a·aa·bb＝a·a－a2a·ba·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝π2，故选D.3．A[解析]f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.4．D[解析]因为a＋b与c共线，所以有a＋b＝mc，又b＋c与a共线，所以有b＋c＝na，即b＝mc－a且b＝－c＋na，因为a，b，c中任意两个都不共线，则有m＝－1，n＝－1，，所以b＝mc－a＝－c－a，即a＋b＋c＝0，选D.5．C[解析]由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．6．B[解析]BD＝ABcos30°＝23，所以BD→＝32BC→.故AD→＝BD→－BA→＝32BC→－BA→.又AC→＝BC→－BA→.所以AD→·AC→＝32BC→－BA→·(BC→－BA→)＝32BC→2－1＋32BA→·BC→＋BA→2，BC→2＝BA→2＝16，BC→·BA→＝4×4×cos30°＝83，代入上式得AD→·AC→＝83－1＋32×83＋16＝4.7．D[解析]AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→＝AB→·AC→＋AB→·CB→＋CA→·CB→＝AB→·AB→＋CA→·CB→，所以CA→·CB→＝0，则CA⊥CB，故为直角三角形．8．B[解析]因为M(－3，0)，N(3，0)，所以MN→＝(6，0)，|MN→|＝6，MP→＝(x＋3，y)，NP→＝(x－3，y)．由|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，得6（x＋3）2＋y2＋6(x－3)＝0，化简得y2＝－12x，所以点M是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(－3，0)的距离，所以dmin＝3.9．北偏西30°[解析]如图，渡船速度为OB→，水流速度为OA→，船实际垂直过江的速度为OD→，依题意知，|OA→|＝12.5，|OB→|＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则|BD→|＝|OA→|，又OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.-6-10．1[解析]取BC的中点D，则OB→＋OC→＝2OD→，且OD⊥BC，AH⊥BC.由OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，可得OA→＋AH→＝m(OA→＋2OD→)，∴AH→＝(m－1)OA→＋2mOD→.AH→·BC→＝(m－1)·OA→·BC→＋2m·OD→·BC→，即0＝(m－1)·OA→·BC→＋0，故m＝1.11．－92[解析]∵圆心O是直径AB的中点，∴PA→＋PB→＝2PO→，所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，∵PO→与PC→共线且方向相反，∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当PO＝PC＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.12．解：(1)|a－kb|＝3|ka＋b|⇒(a－kb)2＝3(ka＋b)2⇒a·b＝－1＋k24k(k0)．∴a·b＝－14k＋1k≤－12，∴a·b的最大值为－12，此时cosθ＝－12，θ＝2π3.故a与b的夹角θ的值为2π3.(2)由题意，(a·b)max＝－12，故|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝λ－122＋34，∴当λ＝12时，|a＋λb|的值最小，此时a＋12b·b＝0，这表明当a＋12b⊥b时，|a＋λb|的值最小．13．解：设f(x)的二次项系数为m，由条件二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立得f(x)的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则当x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则当x≥1时，f(x)是减函数．∵a·b＝(sinx，2)·2sinx，12＝2sin2x＋1≥1，c·d＝(cos2x，1)·(1，2)＝cos2x＋2≥1，∴当m＞0时，f(a·b)＞f(c·d)⇔f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)⇔2sin2x＋1＞cos2x＋2⇔1－cos2x＋1＞cos2x＋2⇔cos2x＜0⇔2kπ＋π2＜2x＜2kπ＋3π2，k∈Z，⇔kπ＋π4＜x＜kπ＋3π4，k∈Z，∵0≤x≤π，∴π4＜x＜3π4，-7-当m＜0时，同理可得不等式的解集为x0≤x＜π4或3π4＜x≤π综上所述，不等式f(a·b)＞f(c·d)的解集是：当m＞0时，为xπ4＜x＜3π4；当m0时，为x0≤x＜π4或3π4＜x≤π.14.解：(1)方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，则F(0，1)．设动点P的坐标为(x，y)，则动点Q的坐标为(x，－1)，PF→＝(－x，1－y)，PQ→＝(0，－1－y)，由(PF→＋PQ→)·(PF→－PQ→)＝0，得x2＝4y.方法二：由(PF→＋PQ→)·(PF→－PQ→)＝0，得|PQ→|＝|PF→|.所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为x2＝4y.(2)证明：方法一：如图，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N－2k，－1.联立方程组x2＝4y，y＝kx＋1，消去y得，x2－4kx－4＝0，Δ＝(－4k)2＋160，故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由NA→＝λ1AF→，NB→＝λ2BF→得，x1＋2k＝－λ1x1，x2＋2k＝－λ2x2，整理得，λ1＝－1－2kx1，λ2＝－1－2kx2，λ1＋λ2＝－2－2k1x1＋1x2＝－2－2k·x1＋x2x1x2＝－2＋2k·4k4＝0.-8-方法二：由已知NA→＝λ1AF→，NB→＝λ2BF→，得λ1·λ20.于是，|NA→||NB→|＝－λ1|AF→|λ2|BF→|，①如图，过A，B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有|NA→||NB→|＝|AA1→||BB1→|＝|AF→||BF→|，②由①、②得λ1＋λ2＝0.