(理)一轮复习教案第十五章系列4选考部分第5讲不等式基本性质含有绝对值的不等式(苏教版)

第5讲不等式基本性质、含有绝对值的不等式对应学生用书P233考点梳理1．两个实数大小关系ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；ab⇔a－b0.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.(2)传递性：如果ab，bc，那么ac.即ab，bc⇔ac.(3)可加性：如果ab，那么a＋cb＋c.(4)可乘性：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.(5)乘方：如果ab0，那么anbn(n∈N，n1)．(6)开方：如果ab0，那么nanb(n∈N，n1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.(3)性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值．4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【助学·微博】考查角度解读重点考查含绝对值不等式的解法，利用含绝对值的重要不等式证明不等式问题．解含有绝对值不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．考点自测1．(2011·江苏卷)解不等式x＋|2x－1|3.解原不等式可化为2x－1≥0，x＋2x－13或2x－10，x－2x－13.解得12≤x43或－2x12.∴原不等式的解集是x－2x43.2．求不等式|2x－1|－|x－2|0的解集．解法一原不等式即为|2x－1||x－2|，∴4x2－4x＋1x2－4x＋4，∴3x23，∴－1x1.所求解集为{x|－1x1}．法二原不等式等价于不等式组①x≥2，2x－1－x－20，或②12x2，2x－1＋x－20.或③x≤12，－2x－1＋x－20.不等式组①无解，由②得12x1，由③得－1x≤12.综上得－1x1，所以原不等式的解集为{x|－1x1}．3．若不等式|x＋1|＋|x－2|a无实数解，求a的取值范围．解由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|a无解，知a≤3.对应学生用书P234考向一含绝对值不等式的解法【例1】(2011·新课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得，|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a，x－a＋3x≤0或x≤a，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4或x≤a，x≤－a2.因为a0，所以不等式组的解集为xx≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a＝2.[方法总结]形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1.解①当x－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x10，∴x－3.②当－3≤x12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x－25，∴－3≤x－25.③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)x2＋1，解得x2，∴x2.综上可知，原不等式的解集为xx－25或x2.考向二绝对值三角不等式的放缩功能【例2】(2012·江苏)已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.证明因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.[方法总结]含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．【训练2】(1)(2011·江西)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．(2)(2013·宝鸡统考)不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解(1)∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.(2)由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)a对于一切x∈R恒成立，则需a2.考向三含参绝对值不等式的最值问题【例3】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果对于∀x∈R，f(x)≥2，求实数a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得：|x－1|＋|x＋1|≥3，法一由绝对值的几何意义知不等式的解集为xx≤－32或x≥32.法二不等式可化为x≤－1，－2x≥3或－1x≤1，2≥3或x1，2x≥3，∴不等式的解集为xx≤－32或x≥32.(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a1，f(x)＝－2x＋a＋1x≤a，1－aax1，2x－a＋1x≥1，f(x)的最小值为1－a；若a1，f(x)＝－2x＋a＋1x≤1，a－11xa，2x－a＋1x≥a，f(x)的最小值为a－1.所以对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[方法总结]不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立⇔af(x)max，f(x)a恒成立⇔af(x)min.【训练3】已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3，又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2；(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝－2x－1，x－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x2，所以当x－3时，g(x)5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x2时，g(x)5.综上可得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．对应学生用书P235热点突破38含绝对值不等式的恒成立问题重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式．【示例】(2012·苏锡常镇调研)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值178.[审题与转化]第一步：(1)|f(x)|是一个多项式的绝对值，所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩，然后再用配方法求解．(2)从f(x)的最大值为178入手分析，a0时，f(x)在对称轴上取得最值．[规范解答]第二步：(1)证明法一∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.法二设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，当x＝±1，即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54；当－1x1，即x2－10时，g(a)＝(x2－1)a＋x是单调递减函数．∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54；g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54.∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.(2)解当a＝0时，f(x)＝x，当－1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1，不满足题设条件，∴a≠0.又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，故f(1)和f(－1)均不是最大值，∴f(x)的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，∴命题等价于a0，－1－12a1，f－12a＝178，解得a－12，a＝－2或a＝－18，∴a＝－2.[反思与回顾]第三步：含绝对值不等式的证明题主要分为两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．高考经典题组训练1．(2009·海南、宁夏卷)如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数；(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.(2)依题意，x满足4|x－10|＋6|x－20|≤70，0≤x≤30.解不等式组，其解集为[9,23]．∴x∈[9,23]．2．(2012·课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．解(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3