(稿)Matlab在麦克斯韦速率分布律教学中的应用

MATLAB在麦克斯韦速率分布律教学中的应用王明美1（合肥师范学院物理与电子工程系，安徽，合肥，230061）摘要：利用MATLAB软件对麦克斯韦速率分布律的速率分布曲线和不同温度下的速率分布曲线进行了模拟，并对分子速率的三个统计值和一定速率区间的分子百分率的进行了编程计算。关键词：MATLAB;麦克斯韦;速率分布曲线;速率分布律;分子速率MATLABIntheteachingofMaxwellspeeddistributionlawWANGMing-mei（DepartmentofPhysicsandElectronicEngineering,HefeiNormalUniversity,Hefei230061,China）Abstract:UsingMATLABtosimulatethespeeddistributioncurveoftheMaxwellspeedDistributionlawandthespeeddistributioncurveofdifferenttemperature,toprogramandcalculatethethreestatisticsandthemolecularpercentagerateofcertainspeedrangeofmolecularspeed.Keywords:MATLAB;Maxwell;distributioncurve;speeddistributionlaw;molecularspeed1引言Matlab是当今科学界最具影响力的软件，它起源于矩阵运算，已发展成一种高度集成的计算机语言，可以提供强大的科学运算灵活的程序设计流程，高质量的图形可视化与界面设计功能，在工业研究与开发，理科教学，数值分析和科学计算方面有广泛的应用。[1][4]2速率分布曲线麦克斯韦经过理论研究，指出在平衡状态中气体分子速率分布函数的具体形式是2223020)2(4)(vekTmvfkTvm，其中的)(vf叫做麦克斯韦速率分布函数，表示速率分布函数的曲线叫做麦克斯韦速率分布曲线。[2]用Matlab模拟氢分子T=273K时的速率分布曲线的程序如下：m0=3.35e-27;T=273;k=1.38e-23;v=0:100:5000;f=4*pi*(v.^2).*(m0/(2*pi*k*T))^1.5.*exp(-m0*(v.^2)/(2*k*T));%分布函数表达式plot(v,f)%绘图xlabel('v/(m/s)');ylabel('f(v)');所得图形如图1所示。1王明美（1956-），女，江苏省南京市人，合肥师范学院物理与电子工程系副教授，主要从事普通物理和近代物理的教学和研究。图1氢分子T=273K时的速率分布曲线2速率分布律与温度的关系用Matlab模拟氮分子在两种温度下的速率分布.已知氦分子的质量kgm25010648.4，KT3001，KT12002，KJk/1038.123。程序如下：m0=4.648e-25;T1=300;T2=1200;k=1.38e-23;v=0:10:1000;%速率区间取0到1000m/sf1=4*pi*(v.^2).*(m0/(2*pi*k*T1))^1.5.*exp(-m0*(v.^2)/(2*k*T1));f2=4*pi*(v.^2).*(m0/(2*pi*k*T2))^1.5.*exp(-m0*(v.^2)/(2*k*T2));plot(v,f1)holdon%保持图形[4]plot(v,f2)%画图xlabel('v/(m/s)');ylabel('f(v)');所得图形如图2所示[3]。图2氮分子在两种温度下的速率分布3计算分子速率的三个统计值气体分子速率的三个统计值分别是分子速率的平均速率v、方均根速率2v和最概然速率pv。（1）计算分子的平均速率v计算公式为0)(dvvvfv为方便起见，令kTmb2/0，vbx，dxbdv/1。编程如下：symsxbpi%建立函数关系f=4/(sqrt(pi))*b^(-1/2)*exp(-x^2)*x^3;%被积函数表达式A=int(f,0,inf)%0)(vdvvvfA运行结果A=2/pi^(1/2)/b^(1/2)，这样从运行结果得0/8/2mkTbv（2）计算分子的方均根速率2v分子的方均根速率的计算公式为022)(dvvfvv，编程如下：symsxbpi%建立函数关系f=4/(sqrt(pi))*b^(-1)*exp(-x^2)*x^4;%被积函数表达式B=int(f,0,inf)%202)(vdvvfvB运行结果B=3/2/b，这样从运行结果得002232/3)(mkTbdvvfvv(3)计算最概然速率pv最概然速率pv的求法是，令0/dvdf，求出所有驻点；对每个驻点求二阶导数的值；如果某个驻点有0/22dvfd则可以确定在此处处分布函数)(vf有极大值[5]。以下编程求解，为方便起见，仍令kTmb2/0。第一步求驻点symsbx%建立函数关系y=4*pi.*b^(3/2).*exp(-b*(x.^2))*(x.^2);%麦克斯韦速率分布函数其中的vx，)(vfyA=diff(y,x)%dxdyA/solve(A)%求0/dxdy方程的解运行结果如下：A=-8*pi*b^(5/2)*x^3*exp(-b*x^2)+8*pi*b^(3/2)*exp(-b*x^2)*xans=[0][1/b^(1/2)][-1/b^(1/2)]从运行结果可知，xebebdxdyAbxbx222/32/588/，从solve(A)得到，当0/dxdy时y有三个驻点，即0x，2/1b，2/1b。第二步对驻点求二阶导数的值。从速率分布曲线知，极大值点应该在0x区域，所以，只要计算bx/1二阶导数的值B=diff(y,x,2)%22/dxydBz1=limit(B,x,1/b^(1/2))%bxdxydz/1221运行结果如下：B=-40*pi*b^(5/2)*x^2*exp(-b*x^2)+16*pi*b^(7/2)*x^4*exp(-b*x^2)+8*pi*b^(3/2)*exp(-b*x^2)z1=-16*pi*b^(3/2)*exp(-1)从运行结果知，bx/1时二阶导数的值z10，y有极大值，即0/2/1mkTbvp时，分布函数f(v)有极大值。4一定速率区间的分子百分率的计算在一定温度下气体分子数N占分子总数N的概率为dvvvkTmdvvfNNPvvkTvmvv222/3021202124)(设定1v和2v后，可以计算速率在21~vv区域内分子数的概率[6]。试计算（1）气体分子热运动速率的大小介于100ppvv和100ppvv（2）气体分子热运动速率的大小介于0和pv3之间的分子数占总分子数的百分率（3）求氢气在300K时分子速率在smvp/10与smvp/10之间的分子数所占百分率。解（1）和（2）symsxvp%建立函数关系b=4.0159e-7,vp=sqrt(1/b),b=1/vp^2y=4/(sqrt(pi))*(vp^(-3))*exp(-x^2/vp^2)*x^2;v1=input('请输入速度范围的下限');v2=input('请输入速度范围的上限');P=int(y,v1,v2)%占总分子数的百分率vpa(P,6)%指定变量精度运行中输入最概然速率vp，输入速度范围的下限0.99*vp，输入速度范围的上限1.01*vp，结果016609.0P。运行中输入最概然速率vp，输入速度范围的下限0，输入速度范围的上限3*vp，结果999558.0P。解（3）先求出最概然速率pvm0=2.02e-3/(6.023e23);%计算氢分子的质量T=300;k=1.38e-23;vp=sqrt(2*k*T/m0);%计算最概然速率sqrt(2*k*T/m0)%显示计算结果运行后得到最概然速率0031.5713epv。以下计算概率：symsx%建立函数关系y=4/(sqrt(pi))*(1.5713e+003^(-3))*exp(-x^2/1.5713e+003^2)*x^2;v1=1.5713e+003-10;v2=1.5713e+003+10;P=int(y,v1,v2)%求占总分子数的百分率vpa(P,5)%指定变量精度运行后得ans=.10572e-1，即%06.10106.0P4结论在大学物理课程中引入计算机模拟技术正日益受到重视，MATLAB为物理教学提供了简捷直观的途径，便于学习者对于物理的原理、概念、公式和图象作深入了解。参考文献[1]李丽,王振领.MATLAB工程计算及应用[M].北京:人民邮电出版社,2001.3[2]程守洙,江之永.普通物理学(第六版)[M]北京:高等教育出版社,2006:182,183,184,203[3]马文蔚.物理学（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1999.253.[4]萝珊智慧型科技工作室，MATLAB入门与应用[M].北京:科学出版社,1999.56[5]韩云瑞扈志明.微积分教程（上册）[M].北京：清华大学出版社，1999.9.171.[6]黄淑清，聂宜如.热学教程（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1994，259.