(试题2)2.2等差数列

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第-1-页共4页版权所有少智报·数学专页等差数列练习1．等差数列的定义：－＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴an＝a1＋×d⑵an＝am＋×d3．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p,q∈R)⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn(a,b∈R)6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．例1.在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaa∴a60＝a1＋59d＝130．方法二：3815451545aamnaadmn，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×38＝130．(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，∴172460202084121222BABABA∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5而d＝31616aa典型例题基础过关彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第-2-页共4页版权所有少智报·数学专页∴a8＝a6＋2d＝16S8＝442)(881aa变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．解：∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝49)2(72)(75104daaa例2.已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－12naa（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝aan1．⑴求证：数列{bn}是等差数列．⑵求数列{an}的通项公式．解：∵⑴an＝2a－12naa(n≥2)∴bn＝)(111112aaaaaaaaannnn(n≥2)∴bn－bn－1＝aaaaaaannn11)(111(n≥2)∴数列{bn}是公差为a1的等差数列．⑵∵b1＝aa11＝a1故由⑴得：bn＝a1＋(n－1)×a1＝an即：aan1＝an得：an＝a(1＋n1)变式训练2.已知公比为3的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，（1）判断na是何种数列，并给出证明；（2）若11nnnaaC，求数列nC的前n项和解：1）1111333,13nnnnaaannnanbaab，即na为等差数列。（2）11111111111,11nnnnnnnnnCSnaaaaaaa。例3.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{nSn}前n项和。求Tn．解：设{an}首项为a1公差为d，由彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第-3-页共4页版权所有少智报·数学专页7521415157267711517daSdaS121da∴Sn＝nn252122521nnSn∴311S∴Tn＝nn411412变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比'5327nnSnSn，则55ab的值是（）A．2817B．4825C．5327D．2315解：B解析：19559559199()24829252()2aaaaSbbSbb。例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解：⑴设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋1)nS2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n由S2S1，即：300(2n＋1)n500(n＋1)n解得：n2∴从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．⑵当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000S2＝300×10×21＝63000∴S2－S1＝8000∴在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．⑶若第二种方案中的300美元改成a美元．则12S＝an(2n＋1)n∈N*∴a＞12)1(500nn＝250＋12250n≥250＋3250＝31000变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第-4-页共4页版权所有少智报·数学专页价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+502)1(nn=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)·50400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．归纳小结