(讲案练案考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.11

讲案2.11对数函数课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.定义函数__________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为__________．2．对数函数及其图象和性质y＝logax(a＞0且a≠1)的图象特征和性质图象a＞10＜a＜1性质值域__________当x＝1时，__________当x＞1时，______；当0＜x＜1时，______当x＞1时，______当0＜x＜1时，______在________上是增函数在(0，＋∞)上是____导读校对：1.y＝logax(a＞0，且a≠1)(0，＋∞)2.Ry＝0y＞0y＜0y＜0y＞0(0，＋∞)减函数基础热身1．已知图中曲线C1、C2、C3、C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1、C2、C3、C4对应的a的值依次可能为()A．3、2、13、12B．2、3、13、12C．2、3、12、13D．3、2、12、13解析：设C1：y＝loga1x，C2：y＝loga2x，C3：y＝loga3x，C4：y＝loga4x.当y＝1时，由图象可知a3＜a4＜1＜a1＜a2.答案：B2．将y＝2x的图象作怎样变化，再作关于直线y＝x的对称图象，可得函数y＝log2(x＋1)的图象()A．先向左平移1个单位B．先向右平移1个单位C．先向上平移1个单位D．先向下平移1个单位解析：y＝log2(x＋1)的反函数为y＝2x－1，由此可知由y＝2x先向下平移1个单位便得到y＝2x－1.答案：D3．函数f(x)＝－log3(x2－2x)的单调递减区间为()A．(1，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(2，＋∞)解析：y＝－log3x递减，y＝x2－2x在(2，＋∞)上递增，∴f(x)＝－log3(x2－2x)单调递减区间为(2，＋∞)．答案：D4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0，a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()解析：首先清楚这两类函数图象在坐标中的位置和走向，另外还应知道f(x)＝ax与g(x)＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，于是可排除A、D.因B、C中关于y＝x对称，最后利用函数值关系式f(3)·g(3)＜0，排除B.答案：C5．(2010·天津卷)若a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.答案：D6．函数f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝－x对称，则函数y＝f(4x－x2)的递增区间是__________．解析：设(x，y)是f(x)的图象上任意一点，则点(x，y)关于直线y＝－x的对称点(－y，－x)在函数y＝2x的图象上，∴－x＝2－y即－y＝log2(－x)，∴y＝－log2(－x)，这就是f(x)的解析式，即f(x)＝－log2(－x)(x＜0)．∴f(4x－x2)＝－log2(x2－4x)(x＜0或x＞4)．当x＜0时，u＝x2－4x是递减的，y＝－log2u也是递减的，故f(4x－x2)的递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.对数的大小比较(1)比较同底数的两个对数值的大小，例如比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a＞0且a≠1.①若a＞1，f(x)＞0，g(x)＞0，则logaf(x)＞logag(x)⇔f(x)＞g(x)＞0.②若0＜a＜1，f(x)＞0，g(x)＞0，则logaf(x)＞logag(x)⇔0＜f(x)＜g(x)．(2)同真数的对数值大小关系如图：2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)是互为反函数的两个函数．(2)y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)的图象关于y＝x对称．3．解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有：(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)的方程，化成f(x)＝g(x)求解．(2)形如F(logax)＝0的方程，换元法求解．(3)形如logf(x)g(x)＝c的方程，化成指数式[f(x)]c＝g(x)求解.互动探究题型1对数型函数的定义域与值域例1.对于函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；(5)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；(6)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．【思维点拨】定义域为自变量x的取值范围，值域为对应函数值的集合，单调区间为定义域的子区间．【解析】设u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.(1)∵u＞0对x∈R恒成立，∴umin＝3－a2＞0，∴－3＜a＜3(或由x2－2ax＋3＞0的解集为R得Δ＝4a2－12＜0求出－3＜a＜3)．(2)∵f(x)的值域为R，∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞)，∴Δ＝4a2－12≥0，即a≥3或a≤－3.∴实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知u＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立．∵g(x)的对称轴为x＝a.∴当a＜－1时，g(－1)＞0，即a＜－12a＋4＞0，解得－2＜a＜－1.当a≥－1时，Δ＜0，即－3＜a＜3，∴－1≤a＜3.故所求a的取值范围是(－2，－1)∪[－1，3)，即(－2，3)．(4)命题等价于x2－2ax＋3＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}．∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3，∴2a＝1＋3，即a＝2.(5)∵y＝f(x)≤－1，∴u＝g(x)值域为[2，＋∞)．∴3－a2＝2，即a＝±1.(6)命题等价于gx在－∞，1]上为减函数gx＞0对x∈－∞，1]恒成立⇔a≥1g1＞0⇔a≥1a＜2，即所求a的取值范围是[1,2)．【总结点评】(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题．(2)值域为R的问题实质是x能取遍某区间上的所有值，一般利用方程有解的条件求参数的取值范围．题型2对数型函数的单调性例2.已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由题设，3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0且a≠1，∵a＞0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a＞0，∴a＜32，∴a的取值范围为(0,1)∪(1，32)．(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时f(x)＝log32(3－32x)，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.题型3对数函数的综合问题例3.已知函数f(x)＝loga1－mxx－1是奇函数(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a＞1，x∈(r，a－2)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a与r的值．【思维点拨】第(1)问利用在定义域内f(－x)＝－f(x)恒成立求出m.第(3)问由f(x)∈(1，＋∞)转化为x的取值．再由x∈(r，a－2)建立关系式求出a与r的值．【解析】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，即loga1＋mx－x－1＝－loga1－mxx－1，∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，∴m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝logax＋1x－1(a＞0，a≠1)，任取x1，x2∈(1，＋∞)．设x1＜x2，令t(x)＝x＋1x－1，则t(x1)＝x1＋1x1－1，t(x2)＝x2＋1x2－1，∴t(x1)－t(x2)＝x1＋1x1－1－x2＋1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1，∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2，∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0.∴t(x1)＞t(x2)，即x1＋1x1－1＞x2＋1x2－1，∴当a＞1时，logax1＋1x1－1＞logax2＋1x2－1，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)当a＞1时，要使f(x)的值域是(1，＋∞)，则logax＋1x－1＞1，∴x＋1x－1＞a，即1－ax＋a＋1x－1＞0，而a＞1.∴上式化为x－a＋1a－1x－1＜0①又f(x)＝logax＋1x－1＝loga(1＋2x－1)，∴当x＞1时，f(x)＞0；当x＜－1时，f(x)＜0.因而，欲使f(x)的值域是(1，＋∞)，必须x＞1，所以对于不等式①，当且仅当1＜x＜a＋1a－1时成立，∴r＝1a－2＝a＋1a－1a＞1，解得r＝1，a＝2＋3.错解辨析例4.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)【错解】y＝2－ax是减函数，则a＞0.在对数函数中底数a∈(0,1)或a∈(1，＋∞)∴0＜a＜1.【错因】本题解答时，易犯两个错误．①忽略真数为正这一条件．②其中含有字母，忘记对字母分类讨论．【正解一】由y＝logau，知a＞0，因此u＝2－ax单调递减，要使复合函数y＝loga(2－ax)递减，则y＝logau必递增，所以a＞1，排除A、C.又因为a＝2时，y＝log2(2－2x)在x＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除了D.∴选B.【正解二】先求函数定义域，2－ax＞0，ax＜2，因a是对数的底数，故a＞0，从而x＜2a，递减区间[0,1]必须在其定义域内，故有1＜2a，a＜2.若0＜a＜1，当x在[0,1]上增大时，2－ax减小，loga(2－ax)增大，故函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递增，与题设矛盾，故a＞1.综上所述，1＜a＜2，选B.【答案】B