(讲案练案考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.6

讲案2.6函数的奇偶性与周期性课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数的奇偶性(1)如果对于定义域内每一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫奇函数；都有__________，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是__________(大前提)．(2)函数可分为(按奇偶性)：__________、__________、__________、__________.任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝__________，其中__________是偶函数，__________是奇函数．(3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇±奇＝__________，偶±偶＝__________.奇×奇＝偶，偶×偶＝________，奇÷奇＝__________，偶÷偶＝__________(分母不为零)．奇函数的反函数是__________，若奇函数的定义域包含0，则__________．(4)图象特征：奇函数图象关于__________对称；偶函数图象关于__________对称；反之亦然．(5)判定方法：首先看函数的__________，若对称，再看：f(x)是奇函数⇔__________⇔__________⇔f－xfx＝__________⇔__________图象__________．f(x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔f－xfx＝__________⇔__________图象__________．(6)推广：y＝f(a＋x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝f(b－x)⇔__________.y＝f(b＋x)是奇函数⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝－f(b－x)⇔__________.2．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__________常数T，使得当x取定义域内的__________值时，都有__________，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的__________．如果所有的周期中存在一个__________，那么这个__________就叫f(x)的最小正周期．(2)周期函数__________有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无__________界．(3)设a为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝1fx；③f(x＋a)＝－1fx；④f(x＋a)＝fx＋1fx－1；⑤f(x＋a)＝1－fx1＋fx；⑥f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是__________函数，__________是它的一个周期．(上述式子分母不为零)若f(x)同时关于x＝a与x＝b对称(a＜b)，则f(x)是周期函数，__________是它的一个周期；若f(x)关于x＝a对称同时关于点(b,0)对称(b≠a)，则f(x)的一个周期T＝__________；若f(x)关于(a,0)对称同时关于(b,0)对称，则f(x)是一个周期函数，周期T＝__________.导读校对：1.(1)f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)关于原点对称的(2)奇函数偶函数既奇且偶函数非奇非偶函数fx＋f－x2＋fx－f－x2fx＋f－x2fx－f－x2(3)奇偶偶偶偶奇函数f(0)＝0(4)原点y轴(5)定义域是否关于原点对称f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0－1(f(x)≠0)f(x)＝－f(－x)关于原点对称f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝01(f(x)≠0)f(x)＝f(|x|)＝f(－x)关于y轴对称(6)f(a＋x)＝f(a－x)f(x)＝f(2a－x)f(x)关于x＝a对称f(x)关于x＝a＋b2对称f(b－x)＝－f(b＋x)f(x)关于(b,0)成中心对称图形f(x)关于a＋b2，0中心对称2.(1)非零每一个f(x＋T)＝f(x)周期最小的正数最小正数(2)不一定上、下(3)周期2a2(b－a)4(b－a)2(b－a)基础热身1.设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数解析：F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，排除B、D.∵f(x)为增函数，∴f(－x)为减函数．∴F(x)＝f(x)－f(－x)为增函数．答案：A2．(2010·广东卷)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．答案：B3．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.答案：D4．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：∵函数f(x)的周期为5，∴f(x＋5)＝f(x)．∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2.同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.答案：A5．(2010·江苏卷)若函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为__________．解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x·(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案：－16．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)是以4为周期的周期函数；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确的结论的序号是__________．解析：∵f(x－2)＝－f(x)且f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0.又由f(x－2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f((x＋4)－2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴T＝4是周期．∴y＝f(x)的图象不关于x＝0对称，③错．∵f(x)是奇函数．∴f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－[－f(－x)]＝f(－x)．答案：①②④思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.判断函数的奇偶性，首先要判定其定义域是否关于原点对称，若对称，在定义域内尽可能地化简函数解析式，然后判定f(－x)＝±f(x)，f(－x)±f(x)＝0，f－xfx＝±1(f(x)≠0)等．2．函数的周期性(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个．(2)若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b，则T＝a－b是函数f(x)的一个周期.互动探究题型1判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x12x－1＋12；(2)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(3)f(x)＝1|x－1|；(4)f(x)＝x2－2xx≥0x2＋2xx0.【解析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，且化简函数式，再验证f(－x)＝±f(x)是否成立，最后做出判断．(1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．且f(x)＝x2·2x＋12x－1，∵f(－x)＝－x2·2－x＋12－x－1＝－x2·1＋2x1－2x＝x2·2x＋12x－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)函数的定义域为R，∵f(－x)＝log2(－x＋－x2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log21x2＋1＋x＝log2(x＋x2＋1)－1＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．(4)解法一：f(x)的定义域为Rx0时，－x0f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)x0时，－x0f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．解法二：x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|∴f(x)＝x2－2|x|∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)∴f(x)为偶函数.题型2函数奇偶性的应用例2.(1)定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a＋1)＜f(2a－1)，求a的取值范围；(2)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求a的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，可得f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(a＋1)＝f(|a＋1|)，f(2a－1)＝f(|2a－1|)．由已知得f(|a＋1|)＜f(|2a－1|)，∴|a＋1|＞|2a－1|得：0＜a＜2.∴a的取值范围是(0,2)．(2)∵f(x)是奇函数f(1－a)＋f(1－a2)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－a2)＝f(a2－1)．∴f(x)定义在(－1,1)上，且在(－1,1)上为减函数．则－1＜1－a＜1－1＜a2－1＜11－a＞a2－1解得：0＜a＜1.∴a的取值范围为(0,1)．题型3函数周期性的判定及其应用例3.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12的所有x.【解析】(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)由0≤x≤1时，f(x)＝12x.设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x，即－f(x)＝－12x.∴f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1＜x＜3，则－1＜x－2＜1.∴f(x－2)＝12(x－2)．又知f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[2＋(－x)]＝－[－f(－x)]＝－f(x)．∴－f(x)＝12(x－2)，∴f(x)＝－12(x－2)(1＜x＜3)，∴f(x)＝12x－1≤x≤1，－12x－21＜x＜3.由上式知在[－1,3)上，仅有f(－1)＝－12，由f(x)是周期函数，得f(x)＝－12的所有x＝4n－1(n∈Z)．题型4抽象函数的奇偶性及其应用例4.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3.(1)证明：函数y＝f(x)是R上的