(讲案练案考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.2

讲案3.2等差数列课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.等差数列的判定与证明方法(1)定义法：______________________________.(2)等差中项法：__________________________.(3)通项公式法：__________________________.(4)前n项和公式法：______________________.2．等差数列的通项公式(1)原型结构式：an＝____________________.(2)变形结构式：an＝am＋________________(n＞m)．3．等差数列的前n项和公式(1)原型结构式：Sn＝__________＝____________.(2)二次函数型结构式：Sn＝________________.4．等差数列的常用性质(1)等差数列{an}中，m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__________.若m＋n＝2p，则am＋an＝____________________.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，当n为奇数时，Sn＝n·________；S奇－S偶＝________；S奇S偶＝________；当n为偶数时，Sn＝n2________；S偶－S奇＝__________；S奇S偶＝________.(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm－Snm－n______Sm＋nm＋n(m，n∈N*，且m≠n)；若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*且m≠n，p≠q)，则Sm－Snm－n__________Sp－Sqp－q.(4)若等差数列{an}中，公差为d，依次k项和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成__________数列，新公差d′＝__________.(5)若Sn、Sn′分别为两个等差数列{an}、{bn}的前n项和，则anbn＝__________.5．等差数列中解题经验与技巧(1)等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最________值，可由不等式组__________来确定；若a1＜0，d＞0，则Sn有最__________值，可由不等式组__________来确定．(2)三个数成等差数列可设三数为__________，四个数成等差数列可设四数为____________________．导读校对：1.(1)an－an－1＝d(常数)，n≥2，n∈N*(2)2an＝an－1＋an＋1，n≥2，n∈N*(3)an＝a1＋(n－1)d，n∈N*(4)Sn＝a1n＋nn－12d，n∈N*2.(1)a1＋(n－1)d(2)(n－m)d3.(1)na1＋an2na1＋nn－12d(2)A·n2＋B·n4.(1)ap＋aq2ap(2)a12na12nn＋1n－1(a2n＋a+12n)n2·d212nnaa(3)＝＝(4)等差k2d(5)S2n－1S′2n－15.(1)大an≥0，an＋1≤0小an≤0，an＋1≥0(2)a－d，a，a＋da－3d，a－d，a＋d，a＋3d基础热身1.各项均不为零的等差数列{an}中，若a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2009等于()A．0B．2C．2009D．4018解析：各项均不为零的等差数列{an}，由于a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2an＝0，an＝2，S2009＝4018.答案：D2．已知等差数列的公差为d，a1＝－24，从第10项开始为正数，则d的取值范围是()A．d＞83B．d＜3C.83≤d＜3D.83＜d≤3解析：由题设a9≤0a10＞0即－24＋8d≤0－24＋9d＞0解得：83＜d≤3.答案：D3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值是()A．0B．37C．100D．－37解析：设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，则an＝a1＋(n－1)d1，bn＝b1＋(n－1)d2，∴an＋bn＝(a1＋b1)＋(n－1)(d1＋d2)，∴{an＋bn}也是等差数列．又a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}是常数数列，故a37＋b37＝100.答案：C4．(2010·全国卷Ⅱ)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.答案：C5．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝2008，S20072007－S20052005＝－2，则S2008的值为()A．－2006B．2006C．－2008D．2008解析：等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则数列{Snn}也为等差数列，又a1＝2008，S20072007－S20052005＝－2，则{Snn}是以2008为首项，－1为公差的等差数列，S20082008＝2008＋(2008－1)×(－1)＝1，S2008的值为2008.答案：D思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.等差数列的五个基本量：a1，an，n，d，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1，d，其余问题可解．2．已知三个数成等差数列，可设这三个数为a，a＋d，a＋2d；也可设为a－d，a，a＋d；若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．等差数列中几个重要结论(1){an}是等差数列，若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝p＋q(其中p，q∈N*，且p≠q)；(2){an}是等差数列，若Sp＝q，Sq＝p，则Sp＋q＝－(p＋q)(其中p，q∈N*，且p≠q)；(3){an}是等差数列，Sn是其前n项和，若Sp＝Sq，则：①a1＞0时，Sn有最大值，且p、q奇偶性相同时，Sp＋q2为最大值(仅一解)；p、q奇偶性不同时，S12pq＝S12pq都是最大值(两解)(其中p，q∈N*，且p≠q)；②a1＜0时，Sn有最小值，且p、q奇偶性相同时，S2pq为最小值(一解)；p、q奇偶性不同时，S12pq＝S12pq都是最小值(两解)(其中p，q∈N*，且p≠q).互动探究题型1.等差数列中基本量的计算例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(4)已知a16＝3，求S31.【解析】(1)解法一：设首项为a1，公差为d，依题设条件，得33＝a1＋14d，153＝a1＋44d.解方程组得a1＝－23，d＝4.∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.解法二：由d＝an－amn－m，得d＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an＝am＋(n－m)d，得a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217.(2)∵Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴8a1＋28d＝48，12a1＋66d＝168.解方程组得a1＝－8，d＝4.(3)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5.解方程组得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.(4)S31＝a1＋a312×31＝a16×31＝3×31＝93.题型2等差数列的判定与证明例2.已知数列{an}，an∈N＋，Sn＝18(an＋2)2，(1)求证{an}是等差数列．(2)若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．【解析】(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝18(an＋1＋2)2－18(an＋2)2∴8an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2∴(an＋1－2)2－(an＋2)2＝0∴(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0∵an∈N＋∴an＋1＋an≠0∴an＋1－an－4＝0，即an＋1－an＝4∴数列{an}是等差数列．(2)由(1)知：a1＝S1＝18(a1＋2)2.解得a1＝2∴an＝4n－2，则bn＝12an－30＝2n－31.解2n－3102n＋1－31≥0得292≤n312∵n∈N＋，∴n＝15∴{an}前15项为负值，∴S15最小可知b1＝－29d＝2∴S15＝15－29＋2n－312＝15×－60＋302＝－225.题型3等差数列性质的应用例3.(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求公差d；(2)在等差数列{an}中，已知S9＝18，an－4＝30(n＞9)，Sn＝240，求n.【解析】(1)由题意可得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，⇒S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d＝30.∴d＝5.(2)由S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝18，∴a5＝2.又Sn＝n2(a1＋an)＝n2(a5＋an－4)＝n2(2＋30)＝240，∴n＝15.题型4.等差数列中的范围与最值问题例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个最大，并说明原因．【解析】(1)设数列首项为a1，公差为d，由题意S12＝12a1＋12×12×12－1d＞0，S13＝13a1＋12×13×13－1d＜0.将a1＝a3－2d＝12－2d代入，得24＋7d＞0，3＋d＜0，∴－247＜d＜－3.(2)解法一：Sn＝na1＋nn－12d＝(12－2d)n＋nn－1d2＝d2n2－52d－12n，其中－247＜d＜－3.由二次函数知识，可求得n＝6.解法二：因an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－3)d，由an≥0，an＋1≤0，得12＋n－3d≥0，12＋n－2d≤0.所以－12d＋2≤n≤－12d＋3.∵－247＜d＜－3，∴112＜n＜7，∴n＝6.解法三：由S13＝13a7＜0，S12＝6(a6＋a7)＞0，∴a7＜0，a6＞0，∴前6项和最大.错解辨析例5.已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．【错解一】∵an＝4n－25，∴an＋1＝4(n＋1)－25∴an＋1－an＝4，a1＝4×1－25＝－21所以，数列{an}是以－21为首项，以4为公差的等差数列．从而可得数列{|an|}是以21为首项，以－4为公差的等差数列，其前n项和Sn＝21n＋nn－12×(－4)＝－2n2＋23n【错解二】an＝4n－25；an＋1＝4(n＋1)－25；an＋1－an＝4；a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增等差数列．令an＝4n－25＜0①an＋1＝4n＋1－25≥0②由①得n＜614，由②得n≥514，所以n＝6.即数列{an}的前6项为负值，从第7项起以后各项均为非负值．所以数列{|an|}的前6项是首项为21，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列．|a7|＝a7＝4×7－25＝3所以数列{|an|}的前n项和为21n＋nn－12－4n≤63n＋nn－12×4n≥7＝－2n2＋23nn≤62n2＋nn≥7【错因】错解一中把数列{an}各项的符号都看成了负数，事实上是不可能的，因为首项为负，而公差为正．错解二对数列前n项和Sn的含义认识不深刻，得出数列{|an|}前n项和的表达式，当n≥7时的情况，忽略了数列的前6项，因而导致错误．【正解】an＝4n－25an＋1＝4(n＋1)－25an＋1－an＝4a1