(讲案练案考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.3

讲案3.3等比数列课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.等比数列的判定与证明方法(1)定义法：______________________________；(2)等比中项法：__________________________；(3)通项公式法：__________________________.2．等比数列的通项公式(1)原型结构式：an＝____________________；(2)变式结构式：an＝am·__________________.(n＞m)3．等比数列的前n项和公式若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则Sn＝________＝________________.4．等比数列的常用性质(1)等比数列{an}中，m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am·an__________ap·aq；(2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S奇·__________；(3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成__________数列，新公比q′＝__________.5．等比数列中解题技巧与经验(1)若{an}是等比数列，且an＞0(n∈N*)，则{logaan}成__________数列，反之亦然；(2)三个数成等比数列可设三个数为__________，四个正数成等比数列可设四个数为__________．导读校对：1.(1)an＋1an＝q(常数)，n∈N*(2)a2n＝an－1·an＋1，n≥2，n∈N*(3)an＝a1·qn－1，n∈N*2.(1)a1·qn－1，n∈N*(2)qn－m3.na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1；na1，q＝1，a1－anq1－q，q≠14.(1)＝(2)q(3)等比qk5.(1)等差(2)aq，a，aqaq3，aq，aq，aq3基础热身1.(2010·浙江卷)若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11解析：由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，得q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.答案：D2．(2010·广东卷)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝()A．35B．33C．31D．29解析：设公比为q(q≠0)，则由a2·a3＝2a1知a1q3＝2，得a4＝2.又∵a4＋2a7＝52，∴a7＝14，∴a1＝16，q＝12.故S5＝a11－q51－q＝161－1251－12＝31.答案：C3．(2010·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12解析：在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.答案：C4．(2010·天津卷)已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：若q＝1，则由9S3＝S6，得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S2＝S4，得9×a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，1an＝12n－1.于是数列1an是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S5＝1×1－1251－12＝3116.答案：C5．(2010·辽宁卷)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172解析：∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q＞0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝12，或q＝－13(舍去)，a1＝1q2＝4.故S5＝41－1251－12＝81－125＝314.答案：B6．(2010·全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42解析：∵a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，且{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝35，a8＝310.于是a8a2＝32，即q6＝32，q3＝62.故a4a5a6＝a35＝(a2q3)3＝(35·62)3＝52.答案：A思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.在等比数列{an}中，已知a1、q、n、an、Sn中的三个量，可以求其他两个量，归结为解方程(组)问题．2．掌握设元的方法和技巧：三个数成等比数列时，可设为aq，a，aq，公比为q；四个数成等比数列(公比q＞0)时，可设为aq3，aq，aq，aq3，公比为q2等．3．运用等比数列的求和公式时，需对q＝1和q≠1进行讨论．4．解题时，应该注意等比数列的常用性质的应用，以减少运算量．5．对于数列{anbn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的求和，可用“乘公比，错位相减法”完成.互动探究题型1.等比数列中基本量的计算例1在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64.求{an}前8项的和S8.【解法一】设数列{an}的公比为q，依题意，a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，①a3·a5＝(a1q3)2＝64，∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式得q2－1＝－3，q2＝－2，舍去．将a1q3＝8代入到①式得q2－1＝3，q＝±2.当q＝2时，a1＝1，S8＝a1q8－1q－1＝255；当q＝－2时，a1＝－1，S8＝a1q8－1q－1＝85.【解法二】因为{an}是等比数列，所以依题设得a24＝a3·a5＝64，∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8，∵a6a4＞0，故舍去a4＝－8，得a4＝8，a6＝32.从而q2＝a6a4＝4.∴q＝±2.当q＝2时，a1＝a4·q－3＝1，a9＝a6·q3＝256，∴S8＝a1－a91－q＝255；当q＝－2时，a1＝a4·q－3＝－1，a9＝a6·q3＝－256，∵S8＝a1－a91－q＝85.题型2.等比数列的判定与证明例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．【解析】(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)得anan－1＝－12.∴{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．题型3.等比数列性质的应用例3.(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.【解析】(1)∵a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2，∴a1＋a3＝5a1a3＝4解得a1＝1，a3＝4或a1＝4a3＝1当a1＝1、a2＝2、a3＝4时，q＝2，an＝2n－1当a1＝4、a2＝2、a3＝1时，q＝12，an＝4·(12)n－1.(2)∵{an}是等比数列，∴(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)，即202＝10·(S3m－30)得S3m＝70.(3)a3＋a6＋a9＋…＋a99是数列{an}的前99项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系．设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56，∴b1(1＋q＋q2)＝56，即b1＝561＋2＋4＝8，∴b3＝b1q2＝32.【答案】(1)2n－1或4·(12)n－1(2)70(3)32题型4等比数列的综合问题例4设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1,2…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．【解析】(1)因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＞0，即1－qn1－q＞0(n＝1,2，…)，上式等价于不等式组1－q＜0，1－qn＜0，(n＝1,2，…)，①或1－q＞0，1－qn＞0.(n＝1,2，…)．②解①式得q＞1；解②，由于n可为奇数，可为偶数，得－1＜q＜1.综上所述，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1得，bn＝an(q2－32q)，Tn＝(q2－32q)Sn.于是Tn－Sn＝Sn(q2－32q－1)＝Sn(q＋12)(q－2)．又Sn＞0，且－1＜q＜0或q＞0，则当－1＜q＜－12或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn；当－12＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn；当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.错解辨析例5{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝__________.【错解】∵(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0∴(an＋1＋an)[n(an＋1－an)＋an＋1]＝0即(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴an＋1an＝nn＋1，∴{an}是以1为首项，nn＋1为公比的等比数列．∴an＝1·(nn＋1)n－1.【错因】以上解答错在由“an＋1an＝nn＋1”认为它是等比数列，其实，由an＋1an＝q得{an}为等比数列的条件不仅仅是一种形式，而是这里的q必须是一非零常数，而nn＋1显然不是常数，所以解答错误．【正解】∵(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0∵an＞0，∴an＋1＋an＞0∴an＋1an＝nn＋1，即an＋1＝nn＋1an∴an＝n－1nan－1＝n－1n·n－2n－1an－2＝…＝n－1n·n－2n－1…a3＝n－1n·n－2n－1…23a2＝n－1n·n－2n－1…23·12＝1n∴数列的通项公式为an＝1n.