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运动学典型例题【例1】汽车从静止开始出发，在水平路上做匀加速直线运动，通过相距为38.4m的甲乙两地需8s，经过乙地的速度是经过甲地时速度的2倍，求汽车的加速度和甲地离汽车出发点的距离。【分析】这是一道匀变规律的应用题。根据题给条件，可先从汽车在甲乙两地的速度关系，求出汽车从出发点到甲地的时间，再求加速度和甲地离汽车出发点的距离。【解答】设汽车的加速度为a，汽车从出发处到甲地所需时间为t，则汽车经过甲地时速度为v甲=at(1)汽车经过乙地时速度为v乙=2v甲=a(t+8)(2)联立式(1)(2)得t=8(s)由题意s乙=s甲+38.4(5)用t=8(s)代上式得a=0.4（m/s2）【说明】应用匀变规律解题的步骤：(1)根据题意确定研究对象；(2)明确物体运动过程及其特点；(3)选择合适公式列方程；(4)求解；(5)考察结果的合理性。【例2】以v=36km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为4m/s2的加速度，求刹车后3s内汽车通过的路程。【分析】应先求汽车从刹车到停止运动所用的时间t0。【解答】v0=36(km/h)=10(m/s)vt=0因为t0＜3(s)，故刹车后汽车通过的路程为【说明】象汽车这类运动，刹车后会停止运动，不会返回。【例3】客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方120m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s2，问两车是否相撞？【分析】这是多个质点运动问题。两车不相撞的条件是：当客车减速到6m/s时，位移差△s=s货+s0-s客＞0。【解答】设客车刹车后经时间t两车速度相同。即v2=6(m/s)此时两车相距为=-2.5(m)因为△s＜0，故两车会相撞。【说明】该题中两车速度相等是一个临界状态，解答时应从这些特殊状态中寻找隐含条件，如本题中v2=6(m/s)这个条件。【例4】作匀加速直线运动的物体，在一段时间内通过一段位移，设这段时间中间时刻的速度用v1表示，这段位移中点的速度用v2表示，试比较v1与v2的大小。【分析】该题可应用中间时刻的速度公式和位移中点的速度公式求解。【解答】设这段时间内物体的初速度为v0，末速度为vt，则【说明】运用数学知识求解物理问题，这是高考对能力考查的内容之一，平时应予重视和培养。【例5】一个气球以4m/s的速度竖直上升，气球下系着一个重物，当气球上升到217m高度时，系重物的绳子断了，那么从这时起，重物要经过多长时间才落回地面？（g=10m/s2）【分析】该题考察的重点是对运动过程和运动状态的分析。重物随气球上升，与气球具有相同的速度，分离时，重物则以4m/s的速度做竖直上抛运动。【解答】（解法一）分段分析法设重物分离后上升的最大高度为h，上升时间为t1，从最高点落回地面的时间为t1，整个时间为t。上升过程：重物做匀减速运动，则下落过程：重物做自由落体运动则重物从分离到落地经历的时间为：t=t1+t2=0.4+6.6=7(s)（解法二）整体分析法把重物从分离到落地的整个过程看作匀变速直线运动，落地点的位移为H=-217(m)，则则重物从分离到落地经历的时间为7(s)。【说明】(1)计算竖直上抛运动的有关问题，既可用分段法，也可用整体法，具体用哪种方法，视问题的性质和特点而定，解题时要注意各矢量的方向与正负取值。(2)本题属于“分离型”问题，要注意其特点，即分离时“母体”与“子体”具有相同的速度。【例6】A、B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速v0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动，试求以下两种情况下，B球初速度v0的取值范围：(1)B球在上升过程中与A球相碰；(2)B球在下落过程中与A球相碰。【分析】这是物体的相关运动问题。A球做自由落体运动，B球做竖直上抛运动，B球上升的最高点是两种不同相碰形式上的临界点。【解答】(1)设A、B相遇时间为t又h1+h2=h(3)中与A球相碰，但v0过小，则B球在落回地面时A球还没有碰上B球，又与题意不符，故v0还有一个最小值。由题意，B球在落地之前要与A球相碰，必须满足，t≤t″，即综上所述，要使B球在下落过程中与A球相碰，v0的取值范围是【说明】求解比较复杂的相关运动型题目时，要注意从时间、位移、速度上寻找关系，本题是以B球在最高点和落地点这两个临界点为突破口，通过建立时间和位移关系来求解的。【例7】甲乙两车位于同一平直公路上同向行驶，甲做匀速运动，当甲驶过乙时，乙立即启动做匀加速运动追赶甲车，速度—时间图像（从乙启动时计时）如图①所示，求：(1)乙车的加速度；(2)多久后乙车追上甲车；(3)追上前甲乙两车相距的最远距离。【分析】这道题考察对速度图像物理意义掌握的情况。(1)直线斜率表示加速度的大小；(2)两图线交点对应两运动物体的速度相等；(3)图线下面积表示位移的大小。【解答】(1)根据图像物理意义可知，加速度大小为：(2)如图②所示，设在t时刻乙追上甲，由图像的物理意义有：(3)由图②可知，当两车速度相等时两车相距最远，最远距离为图中阴影面积，【说明】(1)应用图像物理意义求解运动学问题简单、明了，但应理解图像反映的物理本质。(2)追及问题的两点结论：①速度相等时相距最远；②速度相等前两车逐渐靠近，位移相等后两车逐渐远离。【例8】升降机底板及顶板相距2.5m，现升降机从静止开始以加速度a=10m/s2竖直向上运动，某时顶板上一螺钉突然松脱，(1)求螺钉落到底板上需要多少时间？(2)若螺钉在升降机运动1s后松脱，那么，在螺钉落向底板的时间内，螺钉对地位移是多少？（g=10m/s2）【分析】(1)螺钉松脱后，相对升降机的加速度为a′=a+g，以升降机为参照物，匀变规律仍可适用；(2)螺钉松脱时与升降机同速，以后做竖直上抛运动。【解答】(1)螺钉相对升降机加速度为a′=a+g，初速度为v0=0，位移为h=2.5(m)，由匀变规律得：(2)螺钉松脱时速度为v0=at0=10×1=10(m/s)，螺钉松脱后作竖【说明】(1)求解该题第(1)问，选用升降机作参照物求解过程比较简单，但应注意加速度、速度、位移都必须是相对升降机这个参照物的值。(2)螺钉下落到底板上的时间是个定值，与下落时升降机的运动速度无关。(3)螺钉松脱后对地作坚直上抛运动，初速与松脱时刻有关。【例9】观察者站在列车第一节车厢的前端，列车从静止开始做匀加速运动。第一节车厢驶过他身边所用时间为t1，设每节车厢等长，求第n节车厢驶过他身边需要多少时间？（车厢之间的距离不计）【分析】该题可利用公式和速度图像求解。【解答】解法一：设列车加速度为a，每节车厢长度为l，则又△t=tn-tn-1(4)联立式(1)(2)(3)(4)解得：解法二：设第n节车厢通过观察者身边的初速度为vn-1，则解法三：作出列车的速度—时间图像，如图所示，根据图像的物理意义，图中两块阴影面积相等，即联立式(1)(2)(3)(4)解得：【说明】一道题从多个角度分析往往有多种解法，图像法解题可能是最简便的，平时应加强训练。通过“一题多解”能拓宽解题思路。不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程。【分析】小球每次反跳后均作竖直上抛运动，每次碰撞间经过的路程为反跳高度的2倍。小球第1、2、3……n次的反跳速度为小球从开始下落到第一次与地面相碰经过的路程为：l0=h0=5m【说明】本题求解的关键是找出速度、路程变化的规律，然后再应用数学知识解答。归纳推理法及数列求和公式在运动学问题的解答中经常用到。【例11】河宽500m，流水向东，流速为10m/s，船在静水中航速为5m/s，求：(1)过河的最短时间；(2)过河的最短航程。【分析】(1)由图①可知，当合速度v在垂直于河岸方向的分速度越大时，航行时间越短，故当v2垂直v1时过河时间最短。(2)由图②所示，当θ越大，趋近于90°时，过河航程最短，由于v2＜v1，故当v2与v垂直时，θ最大，航程最短。【说明】(1)船朝垂直于河岸方向航行，过河时间最短。(2)当v2＞v1时，v与v1垂直时航程最短，当v2＜v1时，v与v2垂直时航程最短。【例12】在高处某点以同一速度v0在同一竖直平面内同时向不同方向抛出许多物体，试证明抛出后所有物体位于同一圆周上。【分析】该题可避开斜抛运动，应用运动的合成与分解的方法进行证明。证明思路是：先确定圆心和半径，再证任一物体距圆心之距等于半径。【证明】设A为抛出点，因对称性，圆心必在过A点的竖直线上，t时刻，上抛和下抛的物体分别到达B、C两点，则有：再证任一物体在t时刻距O点之距等于半径R。设某物体以θ角抛出，t时刻到达P点，根据运动的合成与分解的知识，该物体的运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，故P点坐标为故P与B、C共圆，证毕。【说明】(1)运用运动分解的知识把一个复杂的运动分解为几个简单运动，能化繁为简，变难为易。(2)上题中涉及的圆是一个动态圆，圆的半径以v0速度变大，圆心做自由落体运动。【例13】在2000m高空以v0=100m/s速度匀速水平飞行的飞机上每隔3s无初速（相对飞机）释放一包货物，问：(1)货物在空中排列成一个怎样的图形？(2)空中有多少包货物？(3)在空中相邻两包货物间的最大距离为多少？(4)货物落在地面上的间距多少？【分析】货物离开飞机后做平抛运动，在水平方向上，每包货物的运动状态相同，在竖直方向上按一定先后次序做自由落体运动。【解答】(1)由分析可知，货物在水平方向的运动状态完全相同，故货物在空中排在一条竖直线上，该竖直线以100m/s速度随飞机运动。(2)设货物落地时间为t，则∴在空中有7包货物。(4)△s=v0△t=100×3=300(m)【说明】求解本题的关健是要抓住货物脱离飞机后做平抛运动，再将其分解为水平方向和竖直方向两个分运动来分析，这样就容易找出其特点和规律。【例14】如图所示为皮带传动装置，AB分别为两轮边缘上的点，C与A在a轮上。求：(1)ωC∶ωB=？(2)vC∶vB=？(3)aC∶aB=？【分析】该题考察描述圆周运动的物理量ω、v、a的关系。由于AC在同一轮上，它们的角速度相等；由于皮带不打滑，故AB两点的线速度相等。【说明】传动装置中角速度、线速度的关系为：同轴传动轮上各点的角速度相同；皮带传动和齿轮传动，两轮边缘上各点的线速度相等。【例15】北纬45°的某地，由于地球的自转，地球表面上的物体随地球作圆周运动的角速度和线速度各多大？取地球半径R=6.4×106m。【分析】地球自转一周，地球上各处的物体在T=24h时间内都转过2πrad，各处的角速度都相等。在不同纬度的地方，绕地轴转动的半径不同（图示）。【解答】地球上各处随地球自转的角速度为：=7.27×10-5rad/s因为在纬度θ=45°处的转动半径Rθ=Rcosθ，在自转一周T=24h时间内转过的弧长s=2πRθ=2πRcosθ，所以其线速度为：【说明】由计算可知，地球上各处随地球自转的线速度与所处纬度有关。从赤道往南北两极移动时，线速度逐渐减小。【例16】如图所示，A、B两小球之间用长6m的细线相连，将两球相隔0.8s先后从同一高度处以4.5m/s的初速度水平抛出，g取10m/s2，求：(1)A球抛出后经多长时间A、B两球连线可拉直？(2)在这段时间内A球的位移多大？【分析】当A、B拉直时，A、B间距离等于线长，求出A、B水平位移差△x和竖直位移差△y，由△x2+△y2=AB2即可求解。【解答】(1)A、B球的水平位移差为△x=v0△t=4.5×0.8=3.6(m)A、B球的竖直位移差为故tA=tB+△t=1s(2)sAx=v0tA=4.5×1=4.5(m)小结求解相关运动问题要正确全面了解运动图景，从位移、时间方面寻找关系。【例17】如图所示，竖直平前s远处的A点有一点光源，当小球以v0速度从A处正对屏水平抛出时，试证其影在屏上的运动为一个匀速运动，并求其运动速度。【分析】要证影在屏上的运动为一个匀速运动，只须证明h是时间t的一次函数。【解答】由于小球做平抛运动，则：x=v0t(1)