---03方程与方程组(基础知识归纳)

《中考基础知识大扫描》第三章方程与方程组一、一元一次方程1．等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式．．．．．．．．．，所得的结果仍是等式．即若ba，则mbma．（2）等式的两边都乘以同一个数．．．．（或除以同一个不为的数），所得结果仍是等式．即若ba，则bmam，或)0(mmbma2．方程含有未知数的等式叫方程叫方程．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程叫解方程．3．同解方程及方程的同解原理（1）如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程．（2）方程的同解原理：①方程的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．②方程的两边都乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得方程与原方程是同解方程．4．一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程．标准形式：)0(0abax最简形式：)0(abax补含字母系数的方程ax=b的解(1)若0a，则方程有唯一解abx；(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．5．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数（系数化为1），得出方程的解．6．列方程解应用题的方法及步骤（1）审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数．（2）根据题意找出能表示应用题含义的等量关系（关键一步）．（3）据等量关系列出正确方程．（4）解出方程：求出未知数的值．（5）检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意《中考基础知识大扫描》义．7．一元一次方程应用题的主要类型（1）和差倍分问题（2）等积变形（3）行程问题（4）百分比浓度问题（5）劳力调配（6）比例问题（7）工程问题（8）商品利润率问题（9）数字问题8．几个典型问题储蓄问题（1）本金顾客存入银行的钱叫本金（2）利息银行付给储户的酬金叫利息（3）本息和本息和=本金+利息（4）期数存款的时间（年、月等）（5）利率每个期数内的利息与本金之比．记本金为P，利率为i，期数为n，则①单利：本息和=本金+本金利率期数=本金（1+利率期数），即S=P（1+in）②复利：本息和=本金（1+利率）n即S=P（1+i）n利息税=利息税率=本金+利息—利息税率=本金+利息（1—税率）最后金额=本息和—税金市场经济问题（1）利润=售价—进价利润率=进价利润=进价进价售价—（2）进价，原价，售价，利润率的关系：打x折：实际售价=原价×x1.0．此时，利润率=进价利润=进价进价原价—1.0x练习：原价为a，实际售价为b，则打折，折扣率为．行程问题有相遇问题，追及问题、逆（顺）流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线运动及曲线运动（如环形跑道、时钟问题）基本量之间的关系：路程=速度时间（tvs）(1)相遇问题：sss乙甲（或)Stvtv乙甲，t为甲、乙相遇时间．（2）追及问题：0sss乙甲（0,svv乙甲为追及初距离），0Stvtv乙甲乙S甲SCBSA0SBC甲S乙SA乙v甲v《中考基础知识大扫描》工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率×工作时间．常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．增长率问题基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．水中航行问题基本量之间的关系：逆水静顺水静vvvvvv,，静逆顺水逆顺vvvvvv2,2二、二元一次方程组1．二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．一般形式：0,00bacbyax．含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．2．解二元一次方程组(1)代入消元法（代入法）：①用含有x(或y)代数式表示y(或x)，即变成baxy(或bayx)的形式；②将baxy(或bayx)代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入baxy(或bayx)中，求出y(或x)的值，从而得到方程组的解．(2)加减消元法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．补三元一次方程组三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．解三元一次方程组的一般步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组．*4．二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．（1）一次函数与二元一次方程（组）以二元一次方程ax＋by=c（0,ba）的解为坐标的点组成的图象与一次函数bcxbay的图象相同．二元一次方程组222111cybxacybxa的解可以看作是两个一次函数1111bcxbay和2222bcxbay的图象的交点.（2）一次函数与二元一次方程（组）的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解.三、一元二次方程1．一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式：)0(02acbxax其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法形如bax2)(的一元二次方程当0b时，bax，bax，当b0时，方程没有实数根．（2）配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．用配方法解一元二次方程02cbxax的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；《中考基础知识大扫描》②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为nmx2)(的形式；④用直接开平方法解变形后的方程．02cbxax02acxabxacxabx2222)2()2(abacabxabxaacbabx44)2(22（3）公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．对于一元二次方程)0(02acbxax，当042acb时，它的根是：aacbbx242．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定cba,,的值；②求出acb42的值；③若042acb，则把cba,,及acb42的值代入一元二次方程的求根公式：aacbbx242，求出21,xx；若042acb，则方程没有实数根．（4）分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．补判别式、韦达定理1．一元二次方程根的判别式我们就把acb42叫做一元二次方程02cbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即=acb42．《中考基础知识大扫描》一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；0方程有两个实数根．2．一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21,xx，那么两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商，即abxx21,acxx21．韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程02qpxx的两个根是21,xx，那么pxx21，qxx21．推论2：以两个数21,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx．一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根．(2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于21,xx的对称式的值，如,2221xx,1121xx2121122122122111,,,xxxxxxxxxxxx等等．说明：如果把含21,xx的代数式中21,xx互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21,xx的对称式．(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程．(5)已知两数的和与积，求这两个数．(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．(7)证明方程系数之间的特殊关系．(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．《中考基础知识大扫描》根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程02cbxax)0(a的两根为21,xx，则(1)0,021xx且两根同号．0,0,02121xxxx且两根同正；0,0,02121xxxx且两根同数．(2)0,021xx且0ac两根异号．0ac，且021xx两根异号且正根的绝对值较大；0ac，且021xx两根异号且负根的绝对值较大．补二元二次方程组含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．关于yx,的二元二次方程的一般形式为：022feydxcybxyax(cba,,至少有一个不为0)．22,,cybxyax叫做二次项，cba,,叫做二次项系数；dx，ey叫做一次项，ed,叫做一次项系数；f叫做常数项．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组都叫做二元二次方程组．二元二次方程组的解法：1．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：(1)代入法①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；③解这个一元方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组的解．(2)逆用韦达定理法对型如bxyayx的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把yx,看做一元二次方程02ba