--中国地质大学(武汉)高等代数模拟试题三及答案

试卷类别A卷B卷模拟√班级姓名成绩使用学期任课教师韩世勤教研室主任审核签字考试课程名称：高等代数模拟试题（3）答案学时：60考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它考试内容：一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）（1）已知向量组)4,3,2,1(1α，)5,4,3,2(2α，)6,5,4,3(3α，)7,6,5,4(4α则该向量组的一个极大线性无关组是)4,3,2,1(1α，)5,4,3,2(2α。（2）设四阶行列式1121212100120025A，则A的值是3。（3）设A为n阶正交矩阵，则A的特征值是1或-1。（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的伴随矩阵*A=n0。（5）若n阶矩阵A满足0A2，则方程XXA的解X＝0。二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）（1）设12xxx,1111A,则二次型TfAxx等于（D）(A)2212xx;(B)221122xxxx;(C)12xx;(D)212()xx.（2）设n阶矩阵A的行列式0||A，*A是A的伴随矩阵，则（C）(A)AAA||*；(B)AAA2*||；(C)1*||AAA；(D)12*||AAA。（3）线性方程组121232343414xxaxxaxxaxxa有解的充分必要条件是（B）(A)12340aaaa;(B)12340aaaa;(C)12340aaaa;(D)12340aaaa.（4）设n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（B）(A)充分必要条件；(B)充分而非必要条件；(C)必要而非充分条件；(D)即非充分也非必要条件。（5）已知向量组123,,线性无关,向量组234,,线性相关,则（D）(A)1一定可由234,,线性表示；(B)2一定可由134,,线性表示；(C)3一定可由124,,线性表示；(D)4一定可由123,,线性表示；三、(10分)计算行列式xaaaaxaaaaxaaaax.解：xaaaaxaaaaxaaxaxaxaxrrrrrrD3333413121=.))(3(0000000001)3(1111)3()3(31413121axaxaxaaxaaxaaxccccccxaaaaxaaaaxaaxaxr中国地质大学（武汉）考试出题专用纸教务处制四、(10分)已知111111111A,*A是A的伴随矩阵,且*12AXAX,求矩阵X.解：由已知条件得.)2(,)2(,)2(,)2(11AEAXEXAEAEXAAAAXEA由于4111111111A所以11111111122AEA所以10111001141111111111211X五、(10分)求矩阵1012211100100011A的逆矩阵1A.解：利用初等变换110010000100010000123310000121011000110001000100001011120001210111001000010001003312001021010001所以11000100331221011A六、(10分)设A是可逆实矩阵,证明TAA是正定矩阵.证明：由TTT()AAAA知，TAA是对称矩阵．又,x0Ax0，由于2TTT()()()0xAAxAxAxAx，所以TAA是正定矩阵。（其中TA表示矩阵A的转置）七、（10分）设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为T1(1,1,1)p,求A.解：根据已知条件，3对应的特征向量123()Txxxx满足1230xxx得12233111001xxxxxx所以，3对应的特征向量为23111,001pp令2110b32332221/2[,]1/2[,]1pbbpbbb进行标准化1111/31/31/3pe|p|,2221/21/2|0be=|b,3331/61/6|2/6be=|b令1231/31/21/6()1/31/21/61/302/6Peee则有1600030003PAP或1600030003APP600030003TPP1/31/21/61/31/31/36001/31/21/60301/21/200031/302/61/61/62/6411141114八、（10分）设baxxxxxf23463)(，1)(2xxg，a与b是什么数时，)(xf能被)(xg整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(bxaxr，由已知，7,3ba方法二、由于)(xf能被)(xg整除，而1)(2xxg的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(xf的零点，即04)1(baf和010)1(baf解之即得7,3ba。