02 第二节 正项级数的判别法

第二节正项级数的判别法一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.内容分布图示★正项级数★比较判别法★例1★例2★例3★例4★例5★比较判别法的极限形式★例6★例7★例8★例9★例10★比值判别法★例11★例12★例13★根值判别法★例14★例15★例16★内容小结★课堂练习★习题7-2★返回内容要点:一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{ns有界.以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法.至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及p级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式.但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难.下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1nu与nu有公因式且nnnuu1lim存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合nu中含有表达式的n次幂，且nnnulim或等于的情形.积分判别法：对于正项级数,1nna，如果}{na可看作由一个在),1[上单调减少函数)(xf所产生,即有).(nfan则可用积分判别法来判定正项级数1nna的敛散性.例题选讲：比较判别法的应用:例1（讲义例1）讨论p级数11npn的收敛性，其中常数0p.例2（讲义例2）证明级数1)1(1nnn是发散的.例3（讲义例3）判别级数122)2()1(12nnnn的收敛性.例4（讲义例4）设nnnbca),,2,1(n且1nna及1nnb均收敛，证明级数1nnc收敛.比较判别法及其推论的应用：例5（讲义例5）判定下列级数的敛散性:(1);11ln12nn(2).cos111nnn比值判别法的应用：例6（讲义例6）判别级数11ln1nnnn的敛散性.例7（讲义例7）判别下列级数的收敛性：(1)1!1nn；(2)110!nnn.例8（讲义例8）判别级数12)/12(nnnn的收敛性.根值判别法的应用：例9（讲义例9）判别下列级数的收敛性：(1)1)1(2nnn；(2)1.112nnn课堂练习1.设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos1)1(111nnnnnennn达朗贝尔（D’AlemberJeanLeRond，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生不久便被母亲遗弃在巴黎的圣.让勒龙教堂的石阶上。后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名。姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的。达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校，主要学习古典文学、修辞学和数学。他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作。1739年7月，他完成第一篇学术论文，以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告，这些报告由A.C.克莱洛院士回去复。经过几次联系后，达朗贝尔于1746年提升为数学副院士；1754年提升为终身院士。达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名。他进入科学院后，就以克莱洛作为竞争对手，克莱洛研究的每一个课题，达朗贝尔几乎都要研究，而且尽快发表。多数情况下，达朗贝尔胜过克莱洛。这种竞争一直到克莱洛去世（1765）为止。达朗贝尔终生未婚，但长期与沙龙女主人J.de勒皮纳斯在一起。他的生活与当时哲学们一样，上午到下午工作，晚上去沙龙活动。1765年，达朗贝尔因病离开养父母的家，住到勒皮纳斯小姐处。在她精心照料下恢复了健康，以后就继续住在那里。1776年，勒皮纳斯小姐去世，达朗贝尔非常悲痛；再加上工作的不顺利，他的晚年是在失望中度过的，达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市效墓地，由于他的反宗教表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。达朗贝尔是多产科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究；论文和专著很多，还有大量学术通信。仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔《文集》就有23卷。达朗贝尔作为数学家，同甘共18世纪其他数学家一样认为求解物理问题是数学的目标。正如他在《百科全书》序言中所说：科学处于从17世纪的数学时代到18世纪的力学时代的转变，力学应该是数学家的主要兴趣。他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者。