02-3数列极限存在的条件

1§3数列极限存在的条件主要内容：单调有界定理柯西准则要求：掌握单调有界定理证明和计算极限的方法技巧。难点：运用柯西准则证明极限存在或不存在方法的掌握单调有界定理：任何单调有界数列都有极限。例1设111,22nan，证明该数列收敛。例2证明数列,,222,,22,2收敛，并求其极限。clf,n=20;a(1)=sqrt(2);plot([0;n],[2;2]),holdonfori=1:n;a(i+1)=sqrt(2+a(i));plot(i,a(i),'r.'),holdonendaxis([1,n,1,2.2])246810121416182011.21.41.61.822.22数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且nnaa21利用单调有界定理,设其极限为A,则有AA2,A=2例3证明nnn)11(lim存在。（c16,n=）先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界（小于3），所以极限存在，且由图象看出：随着n的增大,nnna)11(逐渐接近一个718.2的无理数eclf,n=50;x=1:n;f(x)=(1+1./x).^x;plot([0;n],[2.718;2.718]),holdonplot(x,f(x),'r.')0510152025303540455022.12.22.32.42.52.62.72.8nnn)11(lim存在的证明Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，这个极限的证明方法很多。下面给出一个较简单的证法证法先证明：对ba0和正整数n，有不等式3.)1(11nnnbnabab事实上，ababaabbabababnnnnnn1111)((nnnnabaabb11.)1(nbn该不等式又可变形为,)1(1nnanbanb(nba,0为正整数)在此不等式中,取,11,111nbna则有,0ba就有nnnxnn,111111↗.单调增取,211,1nba又有121211nn对n成立，,2211nn.421122nnnx又由.4,212nnnxxx有界由单调有界定理nnn)11(lim存在。用e莱表示这个极限。Cauchy收敛准则：数列{}na收敛.,,,,0nmaaNnmN，.,p,,,0npnaaNnNN}例4证明:任一无限十进小数)10(.021nbbb的不足近似值所组成的数列,101010,,1010,102212211nnbbbbbb4收敛.其中)9,,2,1(ibi是9,,1,0中的数.证令na,101010221nnbbb有1122111011011109101010pnpnpnnnnnnpnbbbaa1109n.1101)1.0(11011.01)1.0(1nnpnp……5数列极限习题课一按N定义证明数列极限p27，2按N定义证明：3）0!limnnnn5）1,0limaannn回忆证明1）Aannlim的N叙述2）证明Aannlim的一般步骤证明：1）nnnnnnnn121|0!|2）由1a0h使ha11]2[,12)1(2,0)1(21)1(22222222hNhnhnhnhCnhhCnhnhnannnnnn取得解不等式p331求下列极限（3）3133)3/2(1)3/2(lim3)2(3)2(lim111nnnnnnnnp342设babbaannnn且lim,lim则存在N，Nn时，nnba证明由aannlim1N1Nn时2baan由bbnnlim2N，2Nn时bba24（4）nnn11lim解1)11(limnn保号性NnN,时，21)11(na(a+b)/2b61/112/11)11(21nnnn两边夹原则nnn11lim＝1(5)])2(1)1(11[lim222nnnn解01)2(1)1(1102222nnnnn证明以下数列发散6（2）nn)1(（3）4cosn回忆收敛数列的性质：有界性若数列无界，则数列发散(2)对于任意0M取)1]([2Mn，则MMnn1][2)1(数列}{)1(nn无界，所以数列}{)1(nn发散回忆归结原则（3）取数列}8{}{knk，则12cos4coslimknkk取}28{}{knk，则0)22cos(4cosknkp391(5)1lim)11(lim)11(lim)11(lim212222nknnknnknkennn二单调有界定理证明数列收敛3（2）cccccc,,,，数列单调递增11cca设kn时，1cak1kn时1)1(12)(1221ccccccccaann7（3）cn时nnnnnaancanca01)!1(11单调有界定理，极限存在01lim1limlim1ncAAncaaknknk4)211/()111()211/()211()211(1211nnnnnannnnnnnannnn)111()211/()111()111(6不妨设}(na单调递增，Aankklim。只需证明na有界。反证法。假设na无界。则对任意0M存在Mann,，因Maannnnknkknka无界，与Aankklim矛盾。7由保号性NnN,时，haann11nnaha111Nn时，数列}{na递减，有界，Aanklim存在，再由nnaha11100)111(110AAhAhA8}{na有界存在上确界，记为A由确界定义，对任意Aan,0，取nN，Nn时，AAaAn即||Aan8取111,11nbna11+hl8)1(13)111(]1111[)111()11(1)111()1(1)111)(1()111()11(2111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn注意0)1()44(144)1()2()13)(1()1()2()1(1322323222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1221)111()12)(111()11(nnnnannnnna递减4)111()11()11(211aannnnn10因为由p37例4的证明，nn)11(递增，且3ennnnnnnene)11()11()11(|)11(|1nnennn/3/1)11(第二章数列极限总练习1（1）nnnnnnnn3/13lim3lim33因02222221)21(3443443322333nnnnnnnCnCCCnnnn33lim3nnnn2（3）nnn!1lim不等式：niinni)1()1(1时证明niniiinn)1()1(2)1)(()()(inininii由图，niinni)1()1(1时利用这个不等式1n9nnnnnnnnnnnn)1()1(2)1()21()!(220!1lim1!10nnnnnn3aannlim则数列}{na的前n项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是a4（2）nnaa11由3题1limnna（3）nnnnn1342312，由3题11limlimnnnnnn（4）nnnn13121!1由3题01lim!1limnnnnn（5）nnnnnaaaaaaaa1231211由3题1limlimnnnnnnaaa记!!!nnannnnnnnnn记ennaannnnnnnnn)1(limlim!lim1(8)naaaaaaanannnnn123121limlimdaanaaaaaanaaaaaanannnnnnnnnn)(lim)()()(limlimlim112312123121