02第二节常用统计分布

第二节常用统计分布取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断,为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布,除在概率论中所提到的常用分布外,本节还要介绍几个在统计学中常用的统计分布:2分布t分布F分布内容分布图示★引言★分位数★例1★2分布★例2★t分布★例3★F分布★例4★内容小结★课堂练习★习题5-2内容要点:一、分位数设随机变量X的分布函数为)(xF,对给定的实数),10(若实数F满足不等式}{FXP,则称F为随机变量X的分布的水平的上侧分位数.若实数T满足不等式}|{|TXP,则称T为随机变量X的分布的水平的双侧分位数.二、2分布定义1设nXXX,,,21是取自总体)1,0(N的样本,则称统计量222212nXXX(1)服从自由度为n的2分布,记为).(~22n这里,自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数.)(2n分布的概率密度:0,0.0,)2/(21)(21122/xxexnxfxnn其中)(为Gamma函数，)(xf的图形如5-2-3.1.2分布的数学期望与方差:若)(~22n,则.2)(,)(22nDnE2．2分布的可加性:若),(~),(~222221nm且2221,相互独立，则).(~22221nm3．2分布的分位数:设)(~22n，对给定的实数),10(称满足条件)(222)()}({ndxxfnP的点)(2n为)(2n分布的水平的上侧分位数.简称为上侧分位数.对不同的与n,分位数的值已经编制成表供查用(参见附表).三、t分布定义2设)(~),1,0(~2nYNX,且X与Y相互独立,则称nYXt/服从自由度为n的t分布,记为)(~ntt,)(nt分布的概率密度:tnxnnnxfn,1)2/(]2/)1[()(212t分布具有如下性质：1．)(xf的图形关于y轴对称，且0)(limxfx;2．当n充分大时，t分布近似于标准正态分布;3．t分布的分位数:设)(~ntT，对给定的实数),10(称满足条件)()()}({ntdxxfntTP的点)(nt为)(nt分布的水平的上侧分位数.由密度函数)(xf的对称性，可得).()(1ntnt类似地，我们可以给出t分布的双侧分位数,)()()}(|{|)()(2/2/2/ntntdxxfdxxfntTP显然有.2)}({;2)}({2/2/ntTPntTP对不同的与n,t分布的双侧分位数可从附表查得.四、F分布定义3设),(~),(~22nYmX且X与Y相互独立,则称mYnXnYmXF//服从自由度为),(nm的F分布,记为).,(~nmFF),(nmF分布的概率密度:0,00,1)2/()2/(]2/)[()()(2112xxxnmxnmnmnmnmxfnmmF分布具有如下性质:1．若)(~ntX，则);,1(~2nFX2．若),,(~nmFF则).,(~1mnFF3．F分布的分位数:设),(~mnFF，对给定的实数),10(称满足条件),()()},({mnFdxxfmnFFP的点),(mnF为),(mnF分布的水平的上侧分位数.F分布的上侧分位数的可自附表查得.4．F分布的一个重要性质:.),(1),(1mnFnmF此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.例题选讲:分位数例1（讲义例1）设05.0,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.解由于,95.005.01)(05.0u查标准正态分布函数值表可得,645.105.0u而水平0.05的双侧分位数为,025.0u它满足:,975.0025.01)(025.0u查标准正态分布函数值表可得.96.1025.0u注:今后,分别记u与2/u为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数.2分布例2（讲义例2）设61,,XX是来自总体)1,0(N的样本,又设26542321)()(XXXXXXY试求常数C,使CY服从2分布.解因为)3,0(~321NXXX)3,0(~654NXXX所以),1,0(~3321NXXX),1,0(~3654NXXX且相互独立,于是),2(~33226542321XXXXXX故应取,31C则有).2(~312Yt分布例3（讲义例3）设随机变量)1,2(~NX,随机变量4321,,,YYYY均服从)4,0(N,且)4,3,2,1(,iYXi都相互独立,令,)2(4412iiYXT试求T的分布,并确定0t的值,使.01.0}|{|0tTP解由于),1,0(~2NX,4,3,2,1),1,0(~2/iNYi故由t分布的定义知),4(~42242)2(4412412412tYXYXYXTiiiiii即T服从自由度为4的t分布:).4(~tT由.01.0}|{|0tTP对于,4n01.0查附表4,得.6041.4)4(005.02/ttF分布例4（讲义例4）设总体X服从标准正态分布,nXXX,,,21是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量5,1562512nXXnYniiii服从何种分布?解因为),1,0(~NXi,)5(~5122iiX,)5(~622niinX且512iiX与niiX62相互独立,所以),5,5(~)5(562512nFnXXniiii再由统计量Y的表达式,即得).5,5(~nFY课堂练习设54321,,,,XXXXX是来自正态总体)2,0(2N的样本.(1)求C使统计量252423211)(XXXXXCY服从)(mt分布.(2)求2342212)()(XXXXY所服从的分布.