03-04高数(下)期中试卷(二)及解答

1高数(下)期中试卷(二)学号________.姓名_______.得分_________.一.填空(每小题3分,共15分)1.设),(yxzz由2333zzyx确定,则___________|)1,1(dz.2.母线平行于Z轴,准线为两曲面19222zyx,与xzyx222的交线的柱面方程为__________.3.直线043201zyxzyx的对称式方程为____________.4.将22),(0yRRyRdxyxfdyI转化为极坐标系下的二次积分,则I=_______.5.已知65332),,(222zyzyxyxzyxf,则梯度.________)1,1(gradf二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.已知),(yxzz在点处的偏导数yfxf,均存在,则()A．),(yxf在A点处一定可微;B.),(yxf在点A处一定连续;C.),(0yxf在0yy处一定连续;D.上述A,B,C均不对.2.若),(yxf在有界闭区域D内可微,则),(yxf在D上的()A.驻点必是极值点;B.极值点必是驻点;2C.极值点必是最值点;D.最值点必是极值点.3.设DDdyxIdyxI)sin(,)ln(21;其中D由0,0yx;1yx)1(0.aayx围成.则21,II的大小关系是().A.21II;B.21II;C.21II;D.不能比较21,II的大小.4.设区域D为圆心在原点,半径为1的圆域,区域1D为D在第一象限部分,则().A.DDydyd14;B.DDxydxyd14;C.DDyddy14||;D.Ddx02.5.下列方程表示旋转抛物面的是().A.222yxz;B221yxz;C.2221yxz;D.22yxz.三.试解下列各题(每小题7分,共28分)1.设平面通过Z轴,且与平面052:1zyx的夹角为3,求平面的方程.2.设)()(xyxgyxyfu,求yxuyxux222.3.计算10021xydyyyedx34.设曲线0543022zyxxy,求函数zyxu在点(1,2,1)处沿上述曲线在该点处切线方向(与x轴成锐角)的方向导数.四.设为曲面axyx22和)0,0(;22222hazhayx所围成的空间封闭图形,求的体积V.(8分)五.计算dvyxyxI2222)1ln(,其中是由曲面22yxz及22yxz所围成的封闭空间区域.(10分)六.在曲面224yxz的第一封限上取一点,过该点作曲面的切平面,求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积.(10分)七.在一个半径上拼接一个同半径的高为H的圆柱体,使整个物体的重心恰好位于球心,试求半径R与高H之间的关系.(10分)八.证明:baxabanndyyfybndyyfyxdx)()(11)()(12).2(n(4分)4题解:一、填空题(每小题3分,共15分):1.设),(yxzz由2333zzyx确定,则___________|)1,1(dz.解:011zyx;设2333zzyxF3|3)1,1(2xFx;3|3)1,1(2yFy;1|)13()1,1(2zFz3||;3||)0,1,1()1,1()0,1,1()1,1(zyyzxxFFzFFzyxzddd33)1,1(.2.母线平行于Z轴,准线为两曲面19222zyx,与xzyx222的交线的柱面方程为__________.解:曲线xyxxzyxzyx18219:22222222所求的柱面方程:xyx18222.3.直线043201zyxzyx的对称式方程为____________.解:直线的方向:)3,1,4(312111kjiT5若取)2,0,1(,1Px用点向式:32141zyx.4.将22),(0yRRyRdxyxfdyI转化为极坐标系下的二次积分,则I=_______.解:22222)(RyRxyRRxcos2222RrRxyxcos2040022RryRRxyRycos2040)sin,cos(RrrrrfIdd.5.已知65332),,(222zyzyxyxzyxf,则梯度.________)1,1,1(gradf解:).,,(),,(zyxfffzyxgradf2|)323(|;1|)34(|)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(zyxfyxfyx13|)103(|)1,1,1()1,1,1(zyfz所以:)1,1,1(gradf)13,2,1(二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.已知),(yxzz在点处的偏导数yfxf,均存在,则()6A．),(yxf在A点处一定可微;B.),(yxf在点A处一定连续;C.),(0yxf在0yy处一定连续;D.上述A,B,C均不对.2.若),(yxf在有界闭区域D内可微,则),(yxf在D上的()A.驻点必是极值点;B.极值点必是驻点;C.极值点必是最值点;D.最值点必是极值点.3.设DDdyxIdyxI)sin(,)ln(21;其中D由0,0yx;1yx)1(0.aayx围成.则21,II的大小关系是().A.21II;B.21II;C.21II;D.不能比较21,II的大小.解:10;,yxaDyxDdyxyx0)ln(0)ln(11sin)sin(sin0yxaDdyxyx0)sin(0)sin(所以:21II4.设区域D为圆心在原点,半径为1的圆域,区域1D为D在第一象限部分,则().A.DDydyd14;B.DDxydxyd14;7C.DDyddy14||;D.Ddx02.解:区域D关于X轴对称,也关于Y轴对称.若),(),(yxfyxf,曲面是关于xoz坐标面对称,上半圆dyxfdyxfD),(2),(若),(),(yxfyxf,曲面是关于yoz坐标面对称.右半圆dyxfdyxfD),(2),(若要出现1),(4),(DDdyxfdyxf,需要),(),(),(yxfyxfyxf现在:),(),(),(||),(yxfyxfyxfyyxfDDDyddydy114||4||实际上也可以:DDdxdx1224.5.下列方程表示旋转抛物面的是().A.222yxz;B221yxz;C.2221yxz;D.22yxz.三、试解下列各题（每小题7分，共28分）1、设平面通过Z轴,且与平面052:1zyx的夹角为3,8求平面的方程.解:由于平面通过z轴,故可设其方程为0ByAx,其法向量为)0,,(1BAn,而平面1的法向量为)5,1,2(2n,两平面的夹角为3,所以102213cos222121BABAnnnn,038322BABA,BA31或BA3,所以:所求平面为03yx或03yx.2、设)()(xyxgyxyfu,求yxuyxux222.解:)()()(xygxyxygyxfxu，gxyfygxygxyxygfyxu323222221)(1,gxyfyxgxygxgxfyxyxu2222211,所以0222yxuyxux.3、计算10021xydyyyedx9解:交换积分次序，1110110dyyedxdyyyeIyyy.4、设曲线0543022zyxxy,求函数zyxu在点(1,2,1)处沿上述曲线在该点处切线方向(与x轴成锐角)的方向导数.解:)5,4,3();0,1,4(|)0,1,4()1,2,1(平面曲面nxn切线方向)13,20,5(5941);13,20,5(543014TekjiT)1,1,1()1,2,1(gradu59438)1,1,1()13,20,5(5941)1,2,1(TegraduTu.或:0543022zyxxyxx视参数为x;切线方向1|),,(xxxxzyxT0543041zyxyx，在)1,2,1(处，5/13,4zy10切线方向TxxxxezyxT);513,4,1(|),,(1)13,20,5(5941在)1,2,1(处，1zyxuuu)1,1,1()1,2,1(gradu59438)1,2,1(lu四、设为曲面axyx22和)0,0(;22222hazhayx所围成的空间封闭图形,求的体积V.(8分)解:的投影为:axyx22，0z(1)由于没有0z这个条件,那么要考虑锥的上,下两部分.(关于0z对称)(2)顶部:.22yxahz(被积函数,关于xoz面对称)底:0zhardrrdhadyxahVaD2cos020229842五、计算dvyxyxI2222)1ln(,其中是由曲面22yxz及22yxz所围成的封闭空间区域.(10分)11解:两张曲面的交线为2222yxzyxz,得1,0zz,1所以所围立体在xoy坐标面上的投影区域为122yx,利用柱面坐标计算,得rrzrrrrI221020)1ln(ddd1020)1ln()1(rrrdd]11)1(|)1ln()1[()1()1ln()21(2102102102drrrrrrrd252ln4]|)1ln(4321[1431)1(1010102rrrrrrrdd.六、在曲面224yxz的第一封限上取一点,过该点作曲面的切平面,求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积.(10分)解:设切点为),,(zyx,满足224yxz,0,0,0zyx;曲面的切平面的法向量为)1,2,2(),,(yxFFFnzyx,所以切平面方程为0)()(2)(2zZyYyxXx,即zzyxZyYxX8222222;12平面的截距式:1cZbYaX截距分别为xza28,yzb28,zc8,所以所围四面体的体积为xyzabcV4)8(61613,目标函数:yxzzyxgxyzzyxflnln)8ln(3),,()8(),,(3.约束条件224yxz,(0,0,0zyx)构造拉格朗日函数为:)4(lnln)8ln(322zyxyxzF令:2110408302102122zyxzyxzFyyFxxFzyx驻点唯一;由实际问题,)2,1,1(为最小值点,最小值为9)28