03第三节微积分基本公式

第三节微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题.如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的.因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键.我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念.但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系.即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式.从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学.牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.分布图示★引言★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1★例2-3★例4★例5★例6★例7★原函数存在定理★牛顿—莱布尼茨公式★牛顿—莱布尼茨公式的几何解释★例8–9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★内容小结★课堂练习★习题5-3讲解注意：一、引例变速直线运动中位置函数与速度函数的联系.二、积分上限的函数及其导数：xadttfx)()(定理2若函数)(xf在区间],[ba上连续,则函数xadttfx)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3若函数)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.(3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.例题选讲：积分上限的函数及其导数例1(E01)求右图中阴影区域的面积解由题意，得到阴影区域的面积dxxdxx10204212sec2dxxdxxdxdx1021004204sec231231tan210304xx.例2（E02）求xtdtdxd02cos.解xtdtdxd02cos.cos2x例3（E03）求321xtdtedxd.解这里dtext321是3x的函数，因而是x的复合函数，令,3ux则utdteu1,)(2根据复合函数求导公式，有321xtdtedxddxdudtedudut1223)(xu232xeu623xex例4设)(xf是连续函数,试求以下函数的导数.(1)dtexxxFtfcossin)(;(2)xdttxfxF0)()(;(3).)()(0xdttxfxF解(1))(xF.sincos)(cos)(sinxexexfxf(2)因为,)()(0xdttfxxF所以)(xF.)()(0xdttfxxf(3)因为xdttxfxF0)()(txu0)(xduuf.)(0xduuf，所以，).()(xfxF例5设函数)(xyy由方程0sin0022xyttdtdte所确定.求.dxdy解在方程两边同时对x求导:0sin0022dttdxddtedxdxytOx1y241secxy21xy2于是0sin0022dttdxddxdydtedydxyt，即0)sin()2(4xdxdyyey故.2sin4yyexdxdy例6（E04）求21cos02limxdtextx.分析:这是00型不定式,应用洛必达法则.解dtedxdxt1cos2dtedxdxtcos12)(coscos12xdtedudxuut)(cos2cosxex,sin2cosxex故21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e例7设)(xf在),(内连续且.0)(xf证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证因为),()(0xxfdtttfdxdx),()(0xfdttfdxdx所以)(xF2000)()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxf,)()()()(200xxdttfdttftxxf),0(0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)('xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.牛顿—莱布尼兹公式例8（E05）求定积分102dxx.解33x是2x的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得:dxx1021033x3031.31例9（E06）求定积分.112dxx解当0x时,x1的一个原函数是|,|lnxdxx12112||lnx2ln1ln.2ln例10设,215102)(xxxxf求.)(20dxxf解如图，在]2,1[上规定:当1x时,,5)(xf则由定积分性质得:dxxf20)(dxxfdxxf2110)()(dxdxx211052.6例11（E07）求定积分10|12|dxx.解因为|12|x21,1221,21xxxx所以dxx10|12|dxxdxx12/12/11)12()21(02/122/102)()(xxxx.21例12求定积分3/2/2cos1dxx.解dxx3/2/2cos1dxx3/2/2sindxx3/2/|sin|dxxxdx3/002/sinsin3/002/coscosxx.23例13求定积分222},max{dxxx.解由图形可知)(xf},max{2xx21,10,02,22xxxxxxdxxx222},max{dxxdxxdxx21210022.211例14（E08）计算由曲线xysin在xx,0之间及x轴所围成的图形的面积A.解如图，根据定积分的几何意义,所求面积A为0sindxxA0cosx)0cos(cos.2例15汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度2/5sm刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离?解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间.设开始刹车的时刻为,0t此时汽车速度为360vkm/h3600100036sm/./10sm刹车后汽车减速行驶，其速度为tavtv0)(.510t当汽车停住时，速度,0)(tv故由0510)(ttv).(25/10st于是这段时间内，汽车所驶过的距离为2020)510()(dttdttvs2022510tt).(10m即在刹车后，汽车需驶过m10才能停住.例16（E09）某服装公司生产每套服装的边际成本是,502.00003.0)(2xxxC（1）用和xxCii41)(计算生产400套服装的总成本的近似值；（2）用定积分计算生产400套服装的总成本的精确值。解（1）把区间[0,400]分成4个长度相等的小区间400043210xxxxx，每个区间的长度均为100x。用左矩形公式，得12200)17223350(100)(41xxCii（元）。（3）精确的总成本是4000234000|)501.00001.0()(xxxdxxC课堂练习1.设)(xf在],[ba上连续,则xadttf)(与bxduuf)(是x的函数还是t与u的函数?它们的导数存在吗?如果存在等于什么?2.用定积分定义和性质求极限.212111limnnnn3.计算定积分10221dxxx.