03第三节全微分及其应用

第三节全微分及其应用分布图示★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件★例1★例2★例3★例4★多元函数连续、可导、可微的关系.★全微分在近似计算中的应用★例5★绝对误差与相对误差★例6★例7★内容小结★课堂练习★习题8—3★返回例题选讲例1(E01)求函数62354yxxyz的全微分.解因为,3012,10452263yxxyyzxyyxz.)3012()104(52263dyyxxydxxyydz例2(E02)计算函数xyez在点(2,1)处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz所求全微分.222dyedxedz例3求函数yzeyxu2sin的全微分.解由,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu故所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例4(E03)求函数zyxu的偏导数和全微分.解zzyzyzxxyxyxu1zzyzzyxyxyzxyzxyulnln1yxyxyyxxzuzyzyzzlnlnlnlndzzudyyudxxudu.lnlnlnydzxydyyxyzdxxyxzzzyz例5(E04)计算02.2)04.1(的近似值.解设函数.),(yxyxf.02.0,04.0,2,1yxyx,),(,1)2,1(1yxyxyxff,ln),(xxyxfyy,0)2,1(,2)2,1(yxff由二元函数全微分近似计算公式得02.0004.021)04.1(02.2.08.1例6测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm.试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解以x、y、z为边长的矩形盒的体积为,xyzV所以dzzVdyyVdxxVdV.xydzxzdyyzdx由于已知,2.0||x,2.0||y,2.0||z为了求体积的最大误差,取,2.0dzdydx再结合,40,60,75zyx得dVV2.060752.040752.04060,1980即每边仅0.2cm的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm例7利用摆摆动测定重力加速度g的公式是.422Tlg现测得单摆摆长l与振动周期T分别为cml1.0100、sT004.02.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?解如果把测量l与T时所产生的误差当作||l与|,|T则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224Tlg的全增的绝对值.||g由于||||Tl、都很小，因此可用dg近似的代替.g这样就得到g的误差为gdgTlTglgTTgllg,214322TlTlT其中l与T为l与T的绝对误差.把004.0,1.0,2,100TlTl代入上式，得g的绝对误差约为004.02100221.04322g25.0)./cm93.42s（从而g的相对误差为%.5.02/)1004(5.0222gg课堂练习1.讨论函数0,00,2222242yxyxyxyxz在点(0,0)处函数的全微分是否存在?2.设,),,(1zyxzyxf求).1,1,1(df