0405级数值分析试题参考答案

考试时间120分钟试题班级学号姓名一、填空题（每空5分，共35分）1、绝对误差e是准确值x和近似值*x差的绝对值：*exx，其中称为：绝对误差限。2、在数值计算中应该避免相近的数相减，否则，有可能带来很大的差错，这种差错是由于舍入误差而造成的。用牛顿插值计算sin(0.35)，得到近似值为0.3425,这种误差称为截断误差（或方法误差）。3、在数值计算中，若当0x时，计算1xx的值，则应将其先化简为：11xx。4、通过计算得近似值9876.54321，若分析出其绝对误差限为0.0006，则该近似值的有效数字至少应有6位；若分析出其绝对误差限为0.00002，则该近似值的有效数字至少应有8位。5、柯特斯积分公式具有5次代数精度；6点高斯积分公式至少具有11次代数精度。6、牛顿插值公式与拉格朗日插值公式解决的问题是相同的，（填“相同的”或“不相同的”），它们最后得到的多项式函数是相同的，（填“相同的”或“不相同的”）。与拉格朗日插值公式相比牛顿插值公式的优点在于其具有继承性。7、用迭代法求方程根，除了讨论迭代公式的收敛性外，我们还讨论其收敛的速度问题。简单迭代法、弦截法和切线法的收敛阶数分别为：1阶、1．618阶和2阶。8、在拉格朗日插值问题中，由于节点增多而造成插值多项式函数激烈震荡的现象称为龙格现象，为了避免该现象，我们往往采用分段插总分值。9、为求方程0123xx在01.5x附近的一个根，建立迭代公式：（1）211xx，（2）1231xx，（3）11xx，那么，这三个迭代公式的收敛情况分别为：（1）收敛，（2）收敛，（3）发散。（填：“收敛”或“发散”）10、在牛顿－柯特斯公式中，当n＝1时，对应的是梯形公式；当n＝2时，对应的是辛普生公式；当n＝4时，对应的是柯特斯公式；龙贝格公式的特点是收敛速度快。11、《数值分析》这门课程主要讲的是：用计算机来解决数学问题近似解的方法和过程。12、下面的程序是用秦九韶法实现多项式的计算，请在空白处填写适当语句。#includestdio.hmain(){intn,i;doublex,a[10],f;printf(inputn=);scanf(%d,&n);printf(\ninputa[i]=);for(i=0;i=n;i++)scanf(%lf,&a[i]);printf(x=?);scanf(%lf,&x);f=a[n];for(i=n-1;i=0;i--)f=f*x+a[i];printf(%lf\n,f);}13、下面程序是用牛顿迭代法求解方程0823xx在1.5附近的一个根。请在空白处填写适当语句。main(){doublex1,x0,epsilon;inti;x0=1.5;epsilon=1e-5;x1=x0-(2*x0*x0*x0+x0-8)/(6*x0*x0+1);for(i=0;i1000&&fabs(x0-x1)epsilon;i++){x0=x1;x1=x0-(2*x0*x0*x0+x0-8)/(6*x0*x0+1);}printf(%lf\n,x1);}14、下面是利用拉格朗日插值公式计算某点函数值的程序，请完成程序中缺少的语句。#includestdio.h#includemath.h#defineN100voidmain(){intn;inti,j,k;doublep,l;doublex[N],y[N];doublet;printf(pleaseinputpiontsnumber:=?);scanf(%d,&n);n=n-1;printf(\npleaseinput%d(x[i],y[i])\n,n+1);for(i=0;i=n;i++){scanf(%lf%lf,&x[i],&y[i]);}printf(pleaeinputx=);scanf(%lf,&t);p=0.0;for(k=0;k=n;k++){l=1.0;for(j=0;jk;j++)l=l*(t-x[j])/(x[k]-x[j]);for(j=k+1;j=n;j++)l=l*(t-x[j])/(x[k]-x[j]);p＝p+l*y[k];}printf(%20.16lf\n,p);}三、计算题（共65分）1、用牛顿插值法求：过（－1，14）、（1，6）、（2，14）、（3，46）和（4、114）五点的多项式函数，并求x＝－2时，y的值。（15分）解：构成差商表：xy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商－11416－421484346321224114681820P（x）＝14-4(x+1)+4(x+1)(x-1)+2(x+1)(x-1)(x-2)P(-2)=62、对于以下数据表，试用最小二乘法求一次拟合多项式，并求当x=6时，y值为多少？（保留小数点后5位）（10分）X12345Y44.5688.5解：n＝5，x=15,y=31,xy=105.5,2x=555.105551531155baba解得：a＝2.45,b=1.25则拟合一次式为：y=2.45+1.25x,x=y时，y＝9.95。3、用变步长中点方法求3xe在2x的导数值，最开始取h=0.1，保留4位有效数值。（10分）解：heehGhh2)()2(3)2(3hG(h)1.0e+003*0.000100000000001.228522545794350.000050000000001.214830063036820.000025000000001.211421343121110.000012500000001.210570061294210.000006250000001.210357296942420.000003125000001.210304109360500.000001562500001.210290812684001.2104、确定求积公式123()()()bafxdxAfaAfbAfb中的参数123,,AAA，使其具有尽可能高的代数精度？（10分）解：当f（x）分别等于1，x，x2时，公式成立，有方程组：bAbAaAabAbAaAabAAab322213332122212)(31)(21解得：)(311abA，)(322abA，23)(61abA5、用“尤拉预报－校正”法求解下面一阶常微分方程的初值问题22100(0)0yxyy要求步长h＝0.2,求出(0.2)y和(0.4)y的近似值。（保留小数点后5位）（10分）解：预报公式：),(1nnnnyxfhyy；校正公式：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy01y1y0.00402y2y0.025686、用简单迭代法求方程0245xx在00x附近的一个正根。（要求5位有效数字）（10分）解：5124xx，有迭代公式：51124kkxxx0=0，迭代结果为：1.14869835；1.45827772；1.50933921；1.51712949；1.51830406；1.51848084；1.51850744；1.51851144。则，x0附近的根为：1.5185。