043直线平面垂直的判定及其性质(学生学案)(生)

-1-专题043：直线、平面垂直的判定及其性质（学生学案）（生）考点要求：1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．4．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．5．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．知识结构：1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．4.直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直：线线垂直(1)(2)线面垂直(3)(4)面面垂直（1）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言：,,,mnmnPllmln（2）：如果一条直线垂直于一个平面，那么它与平面内的任何直线都垂直符号语言：a,bab（3）：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号语言：,aa（4）：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.符号语言：,,,mllml定理：垂直于同一个平面的两条直线平行基础自测1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()．A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()．A．①②B．②③C．①④D．③④-2-4．设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()．A.c⊥αα∥β⇒c⊥βB.b⊂β，a⊥bc是a在β内的射影⇒b⊥cC.b∥cb⊂αc⊄α⇒c∥αD.a∥αb⊥a⇒b⊥α5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．例题选讲：1.直线与平面垂直的判定与性质例1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面PAC.小结：(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．学生练习1：如图，已知BD⊥平面ABC，MC//12BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.2.平面与平面垂直的判定与性质例2：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.小结：面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．学生练习2：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.-3-3.平行与垂直关系的综合应用例3：如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.小结：解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．学生练习3：（2013年高考辽宁卷（文））如图,.ABOPAOCO是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BCPAC平面；(II)设//.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面巩固作业：1．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,,DE分别是,ABAC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中22BC.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当23AD时,求三棱锥FDEG的体积FDEGV.图4GEFABCD图5DGBFCAE-4-2．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I)证明:AD⊥C1E;(II)当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.3．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥PABCD中,//ABCD,ABAD,2CDAB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABCABC中,CACB,1ABAA,160BAA.(Ⅰ)证明:1ABAC;(Ⅱ)若2ABCB,16AC,求三棱柱111ABCABC的体积.C1B1AA1BC5．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,60BAD.已知2,6PBPDPA.(Ⅰ)证明:PCBD(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥PBCE的体积.