04第四节行列式按行(列)展开

第四节行列式按行(列)展开分布图示★引例★余子式与代数余子式★例1★引理★行列式按行（列）展开★例2★例3★应用按行（列）展开法则计算行列式★例4★例5★例6★例7★例8★拉普拉斯定理★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1在n阶行列式D中,去掉元素ija所在的第i行和第j列后,余下的1n阶行列式,称为D中元素ija的余子式,记为ijM,再记ijjiijMA)1(称ijA为元素ija的代数余子式.引理一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除ija外都为零，则该行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijAaD定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,,2,1(2211niAaAaAaDininiiii或).,,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,,02211jiAaAaAajninjiji或.,02211jiAaAaAanjnijiji综上所述,可得到有关代数余子式的一个重要性质:;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当或.,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当其中，jijiij,0,1二、行列式的计算直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例1设有5阶行列式:1513131200011231452013101D.(1),111a其余子式,151331200112145211M其代数余子式.)1()1(11112111111MMMA(2),134a其余子式113132001520110134M,其代数余子式.)1()1(34347344334MMMA例2求下列行列式的值:（1）214121312（2）120250723解(1)213142131)1(21122214121312.272856)61(4)32()14(2(2).3)45(312253120250723例3(E01)试按第三列展开计算行列式.5021011321014321D解将D按第三列展开，则有,4343333323231313AaAaAaAaD其中,313a,123a,133a,043a13A31)1(521013201,1933A33)1(521201421,1823A32)1(521013421,6343A34)1(013201421,10所以)63(1193D)10(018)1(.24例4(E02)计算行列式.5021011321014321D解5021011321014321D313422rrrr5207011321014107527211417)1()1(2321232rrrr109211206.241861926)1(122例5(E03)计算行列式.0532004140013202527102135D解53204140132021352)1(053200414001320252710213552D532414132521213)2(rrrr66027013210.1080)1242(206627)2(10例6(E04)求证21)1(11213112211132114321nnxxxxxxxnxxnxnn.证D3221143rrrrrrrrnn1111111111000011000111001111011110xxxxxxx.)1(11000000000100001000010000)1(211nnnxxxxxxxxx例7(E05)证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证用数学归纳法.2D2111xx12xx,)(12jijixx当2n时(1)式成立.假设(1)式对于1n时成立，则)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn)())((11312xxxxxxn2232232111nnnnnxxxxxxnD211312)()())((jinjinxxxxxxxx1).(jinjixx例8设,3142313150111253DD中元素ija的余子式和代数余子式依次记作ijM和ijA,求14131211AAAA及41312111MMMM.解注意到14131211AAAA等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211AAAA3413rrrr001120225011111101122251112cc.42052001202511又按定义知,31413131501112514131211141312111AAAAMMMM34rr311501121)1(0010313150111251312rr.0311501501例9用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032的值.解按第一行和第二行展开21003210032100322132)1(213221212031)1(310231212030)1(320332210121.11例10计算n2阶行列式.22nndcdcbabaD(其中未写出的元素为0).解把nD2中的第n2行依次与第12n行,…,第2行对调(作22n次相邻对换),再把第n2列依次与第12n列,…,第2列对调,得.)(00000000)1()1(2)1(21)22(22nnnnDbcadDDdcdcbabadcbaD以此作递推公式,得.)()()(21)1(22nnnnbcadDbcadDbcadD课堂练习1.计算行列式.3351110243152113D2.讨论当k为何值时.02002000110011kkk3.设n阶行列式,00103010021321nnDn求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA