04第四节连续型随机变量及其概率密度

第四节连续型随机变量及其概率密度分布图示★连续型随机变量及其概率密度★连续型随机变量分布函数的性质★例1★例2★例3★均匀分布★例4★指数分布★例5★正态分布★标准正态分布★例6★3准则★例7★例8★例9★内容小结★课堂练习★习题2-4内容要点一、连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量X的分布函数)(xF,存在非负可积函数)(xf,使得对于任意实数x有.)(}{)(xdttfxXPxF则称X为连续型随机变量,称)(xf为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.关于概率密度的说明1.对一个连续型随机变量X,若已知其密度函数)(xf,则根据定义,可求得其分布函数)(xF,同时,还可求得X的取值落在任意区间],(ba上的概率:badxxfaFbFbXaP)()()(}{2.连续型随机变量X取任一指定值)(Raa的概率为0.3.若)(xf在点x处连续,则)()(xfxF(1)二、常用连续型分布均匀分布定义若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf则称X在区间),(ba上服从均匀分布,记为),(~baUX.指数分布定义若随机变量X的概率密度为0.,0,0,)(其它xexfx则称X服从参数为的指数分布.简记为).(~eX正态分布定义若随机变量X的概率密度为.,21)(222)(xexfx其中和)0(都是常数,则称X服从参数为和2的正态分布.记为).,(~2NX注:正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用)(x和)(x表示:,21)(22xexxtdtex2221)(标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设),,(~2NX则).1,0(~NXY标准正态分布表的使用（1）表中给出了0x时)(x的数值,当0x时,利用正态分布的对称性,易见有);(1)(xx（2）若),1,0(~NX则);()(}{abbXaP（3）若),(~2NX,则),1,0(~NXY故X的分布函数;}{)(xxXPxXPxFbYaPbXaP}{.ab例题选讲连续型随机变量及其概率密度例1设随机变量X的密度函数为其它,011,12)(2xxxf求其分布函数)(xF.解xdttfxXPxF)(}{)(当,1x;0)(xF当,11xxdttdtxF121120)(21arcsin112xxx当,1x,1)(xF故.1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF例2设随机变量X具有概率密度.,0,43,22,30,)(其它xxxkxxf}.2/71{)3();()2(;)1(XPxFXk求的分布函数求确定常数解(1)由,1)(dxxf得,1224330dxxkxdx解得,6/1k于是X的概率密度为.,043,2230,6)(其它xxxxxf(2)X的分布函数为)(xF4,143,22630,60,03030xxdttdttxdttxxx.4,143,4/2330,12/0,022xxxxxxx(3)2/71)(}2/71{dxxfXP2/73312261dxxxdx2/73231242121xxx,4841或)1()2/7(}2/71{FFXP.48/41例3(E01)设随机变量X的分布函数为xxxxxF1,110,0,0)(2,求(1)概率}7.03.0{XP;(2)X的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1))3.0()7.0(}7.03.0{FFXP;4.03.07.022(2)X的密度函数为)()(xFxfxxxx1,010,20,0.,010,2其它xx均匀分布例4(E02)某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意~X),30,0(U其它,0300,301)(xxf为使候车时间X少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为}3025{}1510{XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.指数分布例5(E03)某元件的寿命X服从指数分布,已知其参数,1000/1求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解由题设知,X的分布函数为.0,00,1)(1000xxexFx由此得到}1000{1}1000{XPXP.)1000(11eF各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用Y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则).1,3(~1ebY所求概率为}0{1}1{YPYP.1)()1(13310103eeeC标准正态分布例6(E04)设)4,1(~NX,求.}2|1{|},6.10{),5(XPXPF解这里,1,2故21}5{)5(XPXPF215)2(215查表得0.9772,210216.1}6.10{XP)5.0()3.0()]5.0(1[6179.0;3094.0)6915.01(6179.0}31{}2|1{|XPXP211XP211)1(2)1()1(.6826.018413.023准则例7设某项竞赛成绩NX~(65,100)，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？解设获奖分数线为,0x则求使1.0}{0xXP成立的.0x)(1}{1}{000xFxXPxXP,1.0106510x即,9.010650x查表得,29.110650x解得,9.770x故分数线可定为78分.例8(E05)假设某地区成年男性的身高(单位:厘米)),69.7,170(~2NX求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率.解根据假设),69.7,170(~2NX且}175{X表示该地区成年男性的身高超过175厘米，可得}175{1}175{}175{XPXPXP)65.0(169.71701751.2578.07422.01即该地区成年男性身高超过175厘米的概率为0.2578.例9(E06)已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米)服从参数,05.1006.0的正态分布.规定螺栓长度在12.005.10内为合格品,试求螺栓为合格品的概率.解根据假设),06.0,05.10(~2NX记,12.005.10a,12.005.10b则}{bXa表示螺栓为合格品.于是}{bXaPab)2()2()]2(1[)2(1)2(219772.02.9544.0即螺栓为合格品的概率等于0.9544.课堂练习1.已知)5.0,8(~2NX，求(1));7(),9(FF(2)}105.7{XP;(3)};1|8{|XP(4)}.5.0|9{|XP2.某种型号电池的寿命X近似服从正态分布),(2N,已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在x和x之间的概率不小于0.9,x至少为多少?