04第四节隐函数的导数

第四节隐函数的导数分布图示★隐函数的导数★例1★例2★例3★例4★例5★对数求导法★例6★例7★例8★例9★由参数方程所确定的函数的导数★例10★例11★例12★例13★相关变化率★例14★例15★例16★内容小结★课堂练习★习题2-4★返回内容要点一、隐函数的导数假设由方程0),(yxF所确定的函数为)(xyy，则把它代回方程0),(yxF中，得到恒等式0))(,(xfxF利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dxdy，这就是隐函数求导法.二、对数求导法：形如)()(xvxuy的函数称为幂指函数.直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数求导法.三、参数方程表示的函数的导数设)()(tytx，)(tx具有单调连续的反函数)(1xt,则变量y与x构成复合函数关系)].([1xy且.dtdxdtdydxdy四、相关变化率：设)(txx及)(tyy都是可导函数,如果变量x与y之间存在某种关系,则它们的变化率dtdx与dtdy之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例题选讲隐函数的导数例1(E01)求由下列方程所确定的函数的导数.0)cos(sinyxxy.解在题设方程两边同时对自变量x求导，得0)1()sin(sincosdxdyyxdxdyxy整理得xyyxdxdyxyxcos)sin(]sin)[sin(解得.sin)sin(cos)sin(xyxxyyxdxdy例2求由方程0yxeexy所确定的隐函数y的导数.,0xdxdydxdy解方程两边对x求导,0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy由原方程知,0,0yx所以.1|000yxyxxexyedxdy例3(E02)求由方程1lnyxy所确定的函数)(xfy在点)1,1(M处的切线方程.解在题设方程两边同时对自变量x求导，得0'1'yyxyy解得1'2xyyy在点)1,1(M处，1111'211yxy21于是，在点)1,1(M处的切线方程为)1(211xy，即.032yx例4设,144yxyx求y在点)1,0(处的值.解方程两边对x求导得,0'4'433yyxyyx)1(代入1,0yx得;41'10yxy将方程(1)两边再对x求导得,0''4)'(12'''2123222yyyyxyyx代入,1,0yx41'10yxy得.16110yxy例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.)ln()(2yxyxxy.解,'1)()ln()'1(2'yxyyxyxyy)ln(211'yxy)ln(21)''(''yxyy2)]ln(2[])ln(2[yxyx2)]ln(2)[(1yxyxy(代入y).)]ln(2)[(13yxyx对数求导法例6(E03)设),0(sinxxyx求y.解等式两边取对数得xxylnsinln两边对x求导得,1sinlncos'1xxxxyyxxxxyy1sinlncos'.sinlncossinxxxxxx例7(E04)设yxxy)(sin)(cos，求y.解在题设等式两边取对数xyyxsinlncosln等式两边对x求导，得.sincossinlncossincoslnxyyxyyyyxy解得.sinlntancotcosln'xyxxyyy例8(E05)设xexxxy23)4(1)1(,求y.解等式两边取对数得,)4ln(2)1ln(31)1ln(lnxxxxy上式两边对x求导得,142)1(3111'xxxyy.142)1(3111)4(1)1('23xxxexxxyx例9求函数xxxxxxy的导数.解,lnlnxxxxxeexy)ln()ln(1lnlnxxexxeyxxxxxx)1(ln1xxx])'(lnln)'[(xxxxxxxxx)1(ln1xxx].ln)1(ln[1xxxxxxxxx参数方程表示的函数的导数例10(E06)求由参数方程)1ln(arctan2tytx所表示的函数)(xyy的导数.解.2111222ttttdtdxdtdydxdy例11求由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所表示的函数)(xyy的二阶导数.解dtdxdtdydxdytaatacossinttcos1sin),2(Znntdxdydxddxyd22ttdxdcos1sindtdxttdtd1cos1sin2)cos1(1)cos1(1cos11tatat).,2(Znnt例12求方程taytax33sincos表示的函数的二阶导数.解,tan)sin(cos3cossin322tttattadtdxdtdydxdy)cos()tan()()(322tatdtdxdxdydtddxdydxddxyd.sin3secsincos3422tatttatsex例13(E07)如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹（图2-4-2）的参数方程为,21,221gttvytvx其中21,vv分别是抛射体初速度的水平、铅直分量，g是重力加速度,t是飞行时间.求时刻t抛射体的运动速度.解因为速度的水平分量和铅直分量分别为,,21gtvdtdyvdtdx所以抛射体的运动速度的大小为.)()()(222122gtvvdtdydtdxv而速度的方向就是轨道的切线方向.若是切线与x轴正向的夹角，则根据导数的几何意义，有12''tanvgtvxydxdyxtt或.arctan12vgtv相关变化率例14一汽车从离开观察员500米处离地面沿直上升,其速率为140米/秒.当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?(图示见系统)解设气球上升t秒后，其高度为,h观察员视线的仰角为,则500tanh上式两边对t求导得dtdhdtd5001sec2140dtdh米/秒，当500h米时，2sec214.0dtd(弧/分)极坐标表示的曲线的切线例15(E08)一长为5米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率.(图示见系统)解如图,x表示梯子下端离墙的距离,y表示梯子上端到地面的距离，这里yx,都是时间t的函数.于是2522yx两边对t求导，得,022dtdyydtdxx即.dtdxyxdtdy注意到4,3yx以及,5.0dtdx代入得83dtdy(米/秒)，即梯子上端向下滑落的速率为8/3(米/秒).例16河水以秒米/83的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米,顶角为120的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米?解如图(图示见系统),,34000)(2htV上式两边对t求导得dtdhhdtdV3800028800dtdV米3/小时,当20h米时,104.0dtdh米/小时（水面上升之速率）.课堂练习1.求由方程)ln(sinyxy所确定的函数的二阶导数22dxyd.2..,)1(tan2yxyx求3.一长为5米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为/3时,该夹角的增加率.