04第四讲随机变量的数字特征

22第四讲随机变量的数字特征考纲要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.一、随机变量的数字特征问题1叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式.答随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置.1.定义与公式⑴离散型随机变量X的概率分布为(1,2,)iiPXxpi,iiiEXxp；⑵离散型随机变量X的概率分布为(1,2,)iiPXxpi，()()iiiEgXgxp；⑶二维离散型随机变量(,)XY的概率分布为,(,1,2,)ijijPXxYypij，(,)(,)ijijijEgXYgxyp；⑷连续型随机变量X的概率密度为()fx,()EXxfxdx；⑸连续型随机变量X的概率密度为()fx,()()()EgXgxfxdx；⑹二维连续型随机变量(,)XY的概率密度(,)fxy,(,)(,)(,)EgXYgxyfxydxdy.2性质⑴Ecc；⑵EkXkEX；⑶()EXcEXc；⑷()EXYEXEY；⑸若X与Y相互独立，则()EXYEXEY；问题2叙述随机变量的方差的定义与性质.答随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度.1.定义随机变量X的方差2()DXEXEX，标准差DX.2.性质⑴()0Dc；23⑵2()DkXkDX；⑶()DXcDX；⑷若X与Y相互独立，则()DXYDXDY；⑸22()DXEXEX.问题3叙述随机变量的矩的定义.答随机变量X的k阶原点矩kkaEX，k阶中心矩()kkbEXEX.显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩.问题4如何求随机变量的数字特征？答随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法：⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件.例1.设随机变量X在2,1上服从均匀分布，令随机变量1,0,1,Y0,0,0,XXX则方差DY.【98，提示：先求Y的分布，再利用公式22()DYEYEY】2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：⑴乙箱中次品数X的数学期望；⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率p.【⑴23EX⑵14】3.设随机变量X的概率密度为,()0,axbfx]1,0[]1,0[xx且已知127EX，则a，b.【提示：10()()1fxdxaxbdx，107()()12xfxdxxaxbdx】4.设某种商品每周的需求量X是服从区间]30,10[上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间]30,10[中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.24解X服从区间]30,10[上均匀分布，概率密度1,1030,()200,.xfxelse设进货量为a，则当10Xa时，利润500100()600100YXaXXa当30aX时，利润500300()300200YaXaXa故600100,10,()300200,30,XaXaYgXXaaX利润期望值301011()()(600100)(300200)2020aaEYgxfxdxxadxxadx令9280EY，解得21a5.已知随机变量X的概率密度函数2211()xxfxe，则EX，DX.【1；12】问题5叙述协方差、相关系数的定义与性质答1.协方差定义随机变量X与Y的协方差(,)()()CovXYEXEXYEY.协方差具有如下性质：⑴(,)(,)CovXYCovYX；⑵(,)(,)CovaXbYabCovXY；⑶(,)(,)CovXkYhCovXY；⑷(,)(,)(,)CovXYZCovXYCovXZ；⑸(,)CovXXDX；⑹(,)CovXYEXYEXEY；⑺()2(,)DXYDXDYCovXY.2.相关系数相关系数刻画两个随机变量X与Y的线性相关程度.25定义随机变量X与Y的相关系数(,)XYCovXYDXDY.若0XY，则称随机变量X与Y不相关.相关系数具有如下性质：⑴1XY；⑵11XYPYaXb，特别：若YaXb，则当0a时，1XY，当0a时，1XY.问题6设0,0DXDY，证明下列命题等价：⑴X与Y不相关；⑵(,)0CovXY；⑶EXYEXEY；⑷()DXYDXDY.证由(,)XYCovXYDXDY知，命题⑴和⑵等价；由(,)CovXYEXYEXEY知，命题⑵和⑶等价；由()2(,)DXYDXDYCovXY知，命题⑵和⑷等价；由等价关系的传递性知，这四个命题等价.问题7随机变量的独立性与相关性有何关系？答若X与Y独立，则X与Y一定不相关.证明如下：X与Y独立EXYEXEY(,)0CovXY0XY，即X与Y一定不相关.若X与Y不相关，则X与Y不一定独立.例如二维随机变量),(YX服从单位圆}1),{(22yxyxG上的均匀分布，则X和Y不相关，且X与Y不独立.注意若X与Y的联合分布为二维正态分布，则X与Y独立的充要条件是X与Y不相关.例1.设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为213PX，123PX，26max(,)UXY，min(,)VXY，求U与V的协方差(,)CovUV.【481】2.设YX,独立且都服从))21(,0(2N，求YX的期望与方差.【22;1】3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。若40个人中血液不合格率为p，求化验次数的数学期望.【45040(1)p】4.设)1(,,,21nXXXn为独立同分布的随机变量，且都服从)1,0(N，记niXXYXnXiinii,,1,,11，求⑴,1,,iDYin；⑵1Y与nY的协方差1(,)nCovYY；⑶}0{1nYYP.【⑴1nn⑵1n⑶12】