04级试题答案

-1-大连理工大学试卷答案课程名称：计算方法授课院(系)：应用数学系考试日期：2008年1月11日一、填空（每一空2分，共46分）1．设02100121AAA，则A2，的奇异值A1,5，2A5，11A3。2．给定3个求积节点：00x，5.01x和12x，则用复化梯形公式计算积分dxex102求得的近似值为:15.02141ee，则用复化Simpson公式求得的近似值为15.04161ee。2．设函数1,0,1)(3Sxs，若当1x时，满足0)(xs，则其可表示为33323111)(xcxcxcxs。4．已知12)2(,6)1(,0)0(fff,则]1,0[f6,]2,1,0[f0，逼近)(xf的Newton插值多项式为:x6。5．用于求0sin)(xxxf的根0x的具有平方收敛的Newton迭代公式为：kkkkkxxxxxcos1sin1。6．已知000101000-A，则A的Jordan标准型是：000100000或000000010；7．取22)(Axxf，其中23011112RA，221Rxxx,则姓名：学号：院系：班授课教师：-2-xxdfd)(21212146612233622xxxxxxTxAA；8．求解一阶常微分方程初值问题tuttu)1()(2，00)(utu的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：211111nnnnthhtuu。9．设001.211a12为x的近似值，且2105.0ax，则a至少有5位有效数字；10．将T4,3x，化为T0,5y的Householder矩阵为：53545453；11．kk0105.001302；12．用二分法求方程3()2510fxxx在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为2,1，进行二步后根所在区间为2,5.1。13．写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为（化成最简分量形式）：9,,2,1,019402111iuuuiii。xxuxxu2dddd)()(2，10x，0)0(u，0)1(u其中ihxi，10,,1,0i，110101h。14．设122151A，则在Schur分解HURUA中，R可取为1001或1001。15．设0010A，则tAe101t,tetddA0010。#-3-二、（8分）根据下列表格给出的数据，求其形如bxaxs)(的最小二乘拟合曲线。kx-2-1012ky-3.1-0.91.03.14.9解：正规方程为：iiiiiiiiiiiyxybaxxx515151251515即为：20510005ba，解之，12)(xxs。#三、（12分）设线性方程组：74243433212121xxxxxxx（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出)det(A（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）7412401340317412403140133134310380380401344003803804013故，Tx1,1,1，324000380013)1()det(A。（2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：-4-UDLdet094364420303223，则9,0,0S-GB，故19S-GB，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：04121003030JB，JBIdet994121030323，则3,3,0JB，故13JB，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：741240314013~A是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为：)(2)(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431kkkkkkkxxxxxxx和)1(2)1(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431kkkkkkkxxxxxxx#-5-四、（15分）对于如下的数值方法nnnnnnfffhuuu12128382121（1）求出其局部截断误差主项，并指出此方法的完整名称；（2）证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。解：（1）注意，83,1,81,1,21,21210210，从而481)8321(!31)221(!410)8321(21)221(610)8321()421(210)83181(212012121344233210CCCCC故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：)(481)4(4ntuh。（2）令，02112121)(2，得11，212，满足根条件；又方法阶13p，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：uu(0),取hh0831832183121812121831)()(22hhhhhhhh而要使得1的充要条件为：238418318121183121hhhhhh而23841hh自然成立。现在再由hhhh38443884得hhh448444hhh1211由hh211，可推出02h，即0,2h。#-6-五、（14分）（1）用Schimidt正交化方法，构造[1,1]上权函数1)(x正交多项式系，)(0x，)(1x，)(2x;（2）设()fx在[1,1]上具有二阶连续导数，用1）中所得到的)(2x的零点0x,1x为插值节点构造()fx的Largrange插值多项式)(1xL，并给出余项估计式；（3）设要计算积分11(),fxdx以)(1xL代替()fx，求出相应的数值求积公式，并求出其代数精度；（3）利用3)的结果给出20)(dxxf的数值求积公式。解：（1）1)(0x，xxxxx20121,11,1)(113949434032320102,,,1,11,1,1)(222222xxxxxxxxxxxxxxx（2）令01394)(22xx，得31,3110xx。则)(33233)(33233)()()(10101001011xfxxfxxfxxxxxfxxxxxL，31!2)()()()(211xfxLxfxr，（3）11(),fxdx3131)()(1111ffdxxLfI，3次代数精度。（4）令1tx则331331)1()(1120ffdttfdxxf。#-7-六、证明题（5分）设nnCBA,均为可逆矩阵，且齐次线性方程组0xBA有非零解，证明：对于nnC中的任何矩阵范数，都有11BA。证明：（1）由题意，可知矩阵BAIABA-1-1奇异。故BAI-1奇异。反证法，若存在某种范数，使得11BA，则11BA，则可知BAI-1非奇异，与条件矛盾。（2）由于0xBA有非零解，故对0x，取与向量x的范数相容的矩阵范数，则由0xBAIxBA11ABxAx0xBAI11-得1111BAxBAxBAx-。#