05-06年上学期高三同步测控优化训练数学A导数的应用B卷(附答案)

高中同步测控优化训练(八)第二单元导数的应用(B卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)0,则下列关系一定成立的是A.f(0)0B.f(1)0C.f(1)f(0)D.f(1)f(0)分析:本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解:因为f′(x)0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是A.单调增函数B.单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y′=lnx+1,当y′0时，解得xe1.又x∈(0,1),∴e1x1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′0且x∈(0,1)得0xe1,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案：C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是Oxy122333322211111111-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2yyyyxxxxOOOOACBD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3－5x+1,则f′(x)是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数分析：本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定义域.解：∵f(x)=3x3－5x+1，∴f′(x)=9x2－5(x∈R).∵f′(－x)=f′(x)，∴f′(x)是偶函数.答案：B5.若函数y=x3－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.0b1B.b1C.b0D.b21分析：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解：对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.因为函数在(0，1)内有极小值，所以极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x2=b,显然b0,∴x=±b.又∵x∈(0,1),∴0b1.∴0b1.答案：A6.函数y=x3+x3在(0，+∞)上的最小值为A.4B.5C.3D.1分析：本题主要考查应用导数求函数的最值.解：y′=3x2－23x,令y′=3x2－23x=0,即x2－21x=0,解得x=±1.由于x0,所以x=1.在(0,+∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案：A7.若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)0,又f(a)0,则A.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)0B.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)0C.f(x)在［a,b］上单调递减，且f(b)0D.f(x)在［a,b］上单调递增，但f(b)的符号无法判断分析：本题主要考查函数的导数与单调性的关系.解：若函数f(x)在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)0,则函数在［a,b］内为增函数.∵f(a)0,∴f(b)可正可负,也可为零，即f(b)的符号无法判断.答案：D8.已知y=21sin2x+sinx+3,那么y′是A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数分析：本题主要考查导函数的性质.解：y′=(21sin2x)′+(sinx)′=21(cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，∵f(－x)=cos(－2x)+cos(－x)=cos2x+cosx=f(x),∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x－1+cosx=2cos2x+cosx－1,令t=cosx(－1≤t≤1),∴y′=2t2+t－1=2(t+41)2－89.∴y′max=2,y′min=－89.故选B.答案：B9.函数y=ax3－x在(－∞,+∞)上是减函数，则A.a=31B.a=1C.a=2D.a0分析：本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解:由y′=3ax2－1,当a=31时，y′=x2－1,如果x1,则y′0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a0时，y′=3ax2－1恒小于0，则原函数在(－∞,+∞)上是减函数.故选D.答案：D10.已知抛物线y2=2px(p0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为A.(0,0)B.(2p,p)C.(pp2,2)D.(pp332,2)分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－py22)2+(p－y)2.∴(d2)′=2(p－py22)(－py)+2(p－y)(－1)=23py－2p.令(d2)′y=0,即23py－2p=0,解得y=32p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得32322242ppppyx.所以点(pp332,2)为所求的点.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解法一：y′=2sinxcosx=sin2x.令y′0,即sin2x0，∴2kπ－π2x2kπ,k∈Z.∴kπ－2xkπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－2,kπ),k∈Z.解法二：y=sin2x=－21cos2x+21,函数的减区间即cos2x的增区间，由2kπ－π2x2kπ,k∈Z,得kπ－2xkπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－2,kπ),k∈Z.答案：(kπ－2,kπ),k∈Z12.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是__________.分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数(x)=f(x)g(x),利用(x)的性质解决问题.解:设(x)=f(x)g(x),则′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)0.∴(x)在(－∞,0)上是增函数且(－3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴(x)=f(x)g(x)为奇函数.∴(x)在(0,+∞)上也是增函数且(3)=0.当x－3时,(x)(－3)=0,即f(x)g(x)0;当－3x0时,(x)(－3)=0,即f(x)g(x)0.同理,当0x3时,f(x)g(x)0;当x3时,f(x)g(x)0.∴f(x)g(x)0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).答案:(－∞,－3)∪(0,3)13.有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：设场地的长为xm，则宽为(8－x)m,有S=x(8－x)=－x2+8x,x∈(0,8).令S′=－2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点,∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案：1614.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y=21x+2,则点P的坐标是__________.分析：本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解：因直线y=21x+2的斜率为k=21,又因y=lnx,所以y′=x1=21.所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程，得y=ln2.所以点P的坐标是(2，ln2).答案：(2,ln2)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为x512m，因此新墙总长度L=2x+x512(x0),4分xx512L′=2－2512x.令L′=2－2512x=0,得x=16或x=－16.6分∵x0,∴x=16.7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴x512=32.9分故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.10分注：本题也可利用均值不等式求解.16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=－xb在区间(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－xb的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解：∵函数y=ax与y=－xb在区间(0，+∞)上是减函数，∴a0,b0.3分由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.6分令y′0，即3ax2+2bx0,∴－ab32x0.因此当x∈(－ab32,0)时，函数为增函数;8分令y′0,即3ax2+2bx0,∴x－ab32或x0.10分因此当x∈(－∞,－ab32)时，函数为减函数;x∈(0,+∞)时，函数也为减函数.12分17.(本小题10分)当x0时，求证：exx+1.分析：本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.证明：不妨设f(x)=ex－x－1,3分则f′(x)=(ex)′－(x)′=ex－1.6分∵x0,∴ex1,ex－10.∴f′(x)0,即f(x)在(0，+∞)上是增函数.8分∴f(x)f(0),即ex－x－1e0－1=0.∴exx+1.10分18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.xyO11ABDC1C2分析:本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解:(1)解方程组.32,33xxyxy得交点O、A的坐标分别为(0,0),(1,1).2分f(t)=S△ABD+S△OBD=21|BD|·|1－0|=21|BD|=21(－2t3+3t－t3)=21(－3t3+3t),即f(t)=－23(t3－t)(0t1).4分(2)f′(t)=－23292t.6分令f′(t)=－23292t=0,得33,33tt(舍去