05第五节随机变量函数的分布

第五节随机变量函数的分布分布图示★随机变量的函数★离散型随机变量函数的分布★例1★连续型随机变量函数的分布★例2★例3★例4★例5★有关直接确定密度函数的一个定理★例6★例7★例8★内容小结★课堂练习★习题2-5内容要点一、随机变量的函数定义如果存在一个函数)(Xg,使得随机变量YX,满足:)(XgY,则称随机变量Y是随机变量X的函数.注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.一般地,对任意区间I,令})(|{IxgxC,则},{})({}{CXIxgIY}.{})({}{CXPIxgPIYP注:随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为,2,1,}{ipxXPii易见,X的函数)(XgY显然还是离散型随机变量.如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布?其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值,然后对Y的每一个可能取值,,2,1,iyi确定相应的},)(|{ijjiyxgxC于是},{})({}{iiiiCXyxgyY.}{}{}{ijCxjiixXPCXPyYP从而求得Y的概率分布.三、连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.设已知X的分布函数)(xFX或概率密度函数)(xfX,则随机变量函数)(XgY的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(yYCXPyXgPyYPyF其中}.)(|{yxgxCy而}{yCXP常常可由X的分布函数)(xFX来表达或用其概率密度函数)(xfX的积分来表达:yCXydxxfCXP)(}{进而可通过Y的分布函数)(xFY,求出Y的密度函数.定理1设随机变量X具有概率密度),(),(xxfX,又设)(xgy处处可导且恒有0)(xg(或恒有0)(xg),则)(XgY是一个连续型随机变量,其概率密度为其它,0|,)(|)([)(yyhyhfyfY其中)(yhx是)(xgy的反函数,且)).(),(max()),(),(min(gggg例题选讲离散型随机变量函数的分布例1(E01)设随机变量X具有以下的分布律,试求2)1(XY的分布律.4.01.03.02.02101ipX解Y所有可能的取值0,1,4,由,2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,1.0}1{}0)1{(}0{2XPYPXPXPYPXPXPYP既得Y的分布律为Y014iP2.07.01.0连续型随机变量函数的分布例2(E02)设随机变量,),1,0(~XeYNX求Y的概率密度函数.解设)(),(yfyFYY分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数.则当0y时,有}{)(yYPyFY}{yePX}{P.0当0y时,因为xexg)(是x的严格单调增函数,所以有},ln{}{yXyeX因而}{)(yYPyFY}{yePX}ln{yXP.21ln22yxdxe再由,)()('yFyfYY得.0,00,21)(2)(ln2yyeyfyY通常称上式中的Y服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布.例3(E03)设，其它,040,8/)(~xxxfXX求82XY的概率密度.解设Y的分布函数为),(yFY则}82{}{)(yXPyYPyFY]2/)8[(}2/)8({yFyXPX于是Y的密度函数2128)()(yfdyydFyfXYY注意到40x时，,0)(xfX即168y时，,028yfX且16828yyfX故.,0168,32/)8()(其它yyyfY例4设)1,0(~NX,求2XY的密度函数.解记Y的分布函数为),(xFY则}.{}{)(2xXPxYPxFY显然,当0x时，;0}{)(2xXPxFY当0x时,}{)(2xXPxFY.1)(2}{xxXxP从而2XY的分布函数为0,00,1)(2)(xxxxFY于是其密度函数为0,00),(1)()(xxxxxFxfYY.0,00,212/xxexx注:以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2分布,它是一类更广泛的分布)(2n在1n时的特例.关于)(2n分布的细节将在第五章中给出.例5已知随机变量X的分布函数)(xF是严格单调的连续函数,证明)(XFY服从]1,0[上的均匀分布.证明设Y的分布函数是),(yG由于,10y于是对,0y;0)(yG对,1y;1)(yG又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数1F存在且严格递增.对,10y})({}{)(yXFPyYPyGyyFFyFXP))(()}({11即Y的分布函数是1,110,0,0)(yyyyyG求导得Y的密度函数其它,010,1)(yyg可见,Y服从[0,1]上的均匀分布.证毕.注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.例6(E04)的线性函数试证明设随机变量XNX).,(~2baXY)0(a也服从正态分布.证X的概率密度为,21)(222)(xXexf.x由baxxgy)(解得,)(abyyhx且有从而baXY的概率密度为,||1)(abyfayfXY,y即22221||1)(abyYeayf22)(2)]([2||1aabyea)(y即有).)(,(~2abaNbaXY特别地,若在本例中取,1a,b则得).1,0(~NXY这就是上节中一个已知定理的结果.例7设随机变量X服从参数为的指数分布,求}2,min{XY的分布函数.解根据已知结果,X的分布函数0,00,1)(xxexFxXY的分布函数}}2,{min{}{)(yXPyYPyFY}}2,{min{1yXP}.2,{1yyXP当2y时，),(}{}{1)(yFyXPyXPyFXY当2y时，.1)(yFY代入X的分布函数中可得.2,120,10,0)(yyeyyFyY注：在本例中,虽然X是连续型随机变量,但Y不是连续型随机变量,也不是离散型随机变量,Y的分布在2y处间断.例8(E05)(对数正态分布)随机变量X称为服从参数为2,的对数正态分布,如果XYln服从正态分布),,(2N试求对数正态分布的密度函数.解由于),,(~ln2NXY等价地有),,(~,2NYeXY于是，当0x时，);(ln}ln{}{}{)(xFxYPxePxXPxFYYX当0x时，显然,0)(xFX继而可得X的密度函数为0,00),(ln1)()(xxxfxxFxfYXX.0,00,21222)(lnxxexx注：在实际中，通常用对数正态分布来描述价格的分布，特别是在金融市场的理论研究中，如著名的期权定价公式(Black-Scholes公式)，以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格.设某种资产当前价格为，0P考虑单期投资问题，到期时该资产的价格为一个随机变量，记作,1P设投资于该资产的连续复合收益为,r则有rePP01，从而0101lnlnlnPPPPr注意到0P为当前价格，是已知常数，因而假设价格1P服从对数正态分布实际上等于假设连续复合收益率r服从正态分布.课堂练习1.设X的分布列为10/310/110/110/15/12/52101ipX试求:(1)2X的分布列;(2)2X的分布律.2.设随机变量X的概率密度为.,0,0,/2)(2其它xxxf求XYsin的概率密度.