05级数值分析试卷

武汉大学2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）设求方程0cos2312xx根的迭代法kkxxcos3241(1)证明对Rx0,均有*limxxkk,其中*x为方程的根.(2)取40x，求方程的近似根，使误差2110||kkxx，并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。.022,1,122321321321xxxxxxxxx三、（8分）若矩阵aaaaA000002，说明对任意实数0a，方程组bAX都是非病态的（范数用）四、（15分）已知)(xfy的数据如下：ix012)(ixf026)(ixf1求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（℃）的试验数据为ix1234iy0．81．51．82．0已知经验公式的形式为2bxaxy，试用最小二乘法求出a，b。六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112),(取得最小值。七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(xLn有递推关系式：),2,1()(1)(112)()(,1)(1110nxLnnxxLnnxLxxLxLnnn试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式11332211)()()()(xfAxfAxfAdxxf的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分211dxeIx八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的单步法：),(),()2121(121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn（1）验证它是二阶方法；（2）确定此单步法的绝对稳定域。