05第五节三重积分

第五节三重积分(二)分布图示★利用柱面坐标计算三重积分★例1★例2★例3★利用球面坐标计算三重积分★例4★例5★例6★空间立体的质心与转动惯量★例7★例8★例9★空间立体对质点的引力★例10★内容小结★课堂练习★习题9—5★返回内容要点一、利用柱面坐标计算三重积分点M的直角坐标),,(zyx与柱面坐标),,(zr之间的关系为,cosrx,sinry.zz(5.1)柱面坐标系中的三族坐标面分别为r常数：一族以z轴为中心轴的圆柱面；常数：一族过z轴的半平面；z常数：一族与xOy面平行的平面.柱面坐标系中的体积微元:dzrdrddv，为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于z轴的直线与区域的边界最多只有两个交点.设在xOy面上的投影为D，区域D用r，表示.区域关于xOy面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为),(1rzz，下曲面方程为),(2rzz，),(),(21rzzrz，Dr),(，于是Drzrzdzzrrfrdrddzrdrdzrrf),(),(21),sin,cos(),sin,cos(二、利用球面坐标计算三重积分点M的直角坐标),,(zyx与柱面坐标),,(r之间的关系为,cos,sinsinsin,cossincosrzrOPyrOPx(5.3)球面坐标系中的三族坐标面分别为r常数：一族以原点为球心的球面；常数：一族以原点为顶点，z轴为对称轴的圆锥面；常数：一族过z轴的半平面.球面坐标系中的体积微元:ddrdrdvsin2，三、三重积分的应用空间立体的重心dvzyxxMx),,(1,dvzyxyMy),,(1dvzyxzMz),,(1.其中，dvzyxM),,(为该物体的质量.空间立体的转动惯量,)(22dvzyIx,)(22dvzxIydvyxIz)(22.空间立体对质点的引力},,{zyxFFFFdvrzzGdvryyGdvrxxG303030)(,)(,)(.例题选讲利用柱面坐标计算三重积分例1(E01)立体是圆柱面122yx内部,平面2z下方,抛物面221yxz上方部分,其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K),求的质量m.解据题意，密度函数为,),,(22yxKzyx所以.),,(22dvyxKdvzyxm利用柱坐标，先对z积分，在xOy平面上投影域D为},1),({22yxyxD故211022021222)(rDrdzdrrdKdzdrdrKdzrdrdKrm.1516)1(21022KdrrrK例2(E02)计算,zdxdydz其中是由球面4222zyx与抛物面zyx322所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为,422zr.32zr从中解得两曲面的交线为,1z,3r在xOy面上的投影区域为:D,30r.20对投影区域D内任一点),,(r有.4322rzr所以I2243rrDzdzrdrd22433020rrzdzrdrd.413例3计算,)(22dxdydzyxI其中是曲线0,22xzy绕z轴旋转一周而成的曲面与平面8,2zz所围的立体.解由曲线,22zy0x绕z轴旋转所得曲面方程为zyx222旋转抛物面设:1,20,40r822zr:2,20,20r222zrI21)()(2222dxdydzyxdxdydzyx2222020822402022rrdzrrdrddzrrdrd623455.336利用球面坐标计算三重积分例4计算,)(22dxdydzyx其中是锥面222zyx与平面)0(aaz所围的立体.解在球面坐标系中azcosar222zyx4故积分区域可表为20,40,cos0:ar所以cos034402022sin)(adrrdddxdydzyx.10coscoscos152cossin5254052540535adada注:本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面222zyxrz积分区域,20,0,:arazr同样得到.10)(5202022adzrrdrddxdydzyxara例5(E03)计算球体22222azyx在锥面22yxz上方部分的体积（图9-5-7）.解在球面坐标系中,22222azyx,2ar22yxz,4:,20ar,40.20故所求体积Vdxdydzadrrdd2024020sinda3)2(sin2340.)12(343a例6计算dxdydzzyx2)(,其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.解)(2)(2222zxyzxyzyxzyx注意到关于zOx和yOz面对称，有0,0)(xzdvdvyzxy且dvydvx22在xOy面上的投影区域圆域10,20:rD对D内任一点，有,222rzr所以2222221020222)cos2()2()(rrdzzrrdrddxdydzzxdxdydzzyx).89290(60三重积分的应用例7(E04)已知均匀半球体的半径为a,在该半球体的底圆的一旁,拼接一个半径与球的半径相等,材料相同的均匀圆柱体,使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合,为了使拼接后的整个立体重心恰是球心,问圆柱的高应为多少?解如图(见系统演示)，设所求的圆柱体的高度为,H使圆柱体与半球的底圆在xOy平面上.圆柱体的中心轴为z轴，设整个立体为,其体积为,V重心坐标为).,,(zyx由题意应有.0yx于是.1zdvz设圆柱体与半球分别为,,21分别用柱面坐标与球面坐标计算，得202022000sincosaaHdrrrddzrdrdrdzdv202032000sincosaaHdrrddzdrrdrd.0)2(4421221212222422aHaaHa得,22aH就是所求圆柱的高.例8求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.解取球心为坐标原点，球的半径为za,轴与轴l重合，则球体所占空间闭区域}.|),,{(2222azyxzyx所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为zIdvyx)(22)sinsincossin(222222rrddrdrsin2ddrdr34sinadrrdd040320sin035sin52da34525a.522Ma其中334aM为球体的质量.例9求高为h,半顶角为,4密度为(常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.解取对称轴为z轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则dvyxIz)(22利用截面法，由,:222zyxDzzDyxhz),(,0:得到hzDhzrdrrddzdxdyyxdzIz02002220)(.1024415040204hdzzdzdzhh例10设半径为R的匀质球(其密度为常数0)占有空间区域}.|),,{(2222Rzyxzyx求它对位于),0,0(0aM)(Ra处的单位质量的质点的引力.解设球的密度为,0由球体的对称性及质量分布的均匀性知,0yxFF所求引力沿z轴的分量为zFdvazyxazG2/32220])([22222/32220])([)(zRyxRRazyxdxdydzazG2202/322200])([)(zRRRazdddzazGdzaazRzaazGRR220211)(22202)(122aazRdazaRGRR23032222aRRRG203134aRG,2aMG其中0334RM为球的质量.注:本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.课堂练习1.计算由曲面zazyx32222)(所围立体的体积.2．求均匀半球体的重心.