06年高考数学试题全国卷1

06年高考数学试题全国卷12006年06月09日10:27来源:河南报业网-河南商报[发表评论]移动用户发送HNZB到7000，订阅河南手机报。早报+晚报，每天一角钱。大河网讯本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷注意事项：本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么Ｐ（Ａ＋Ｂ）=Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么Ｐ（Ａ·Ｂ）=Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么ｎ次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率Ｐｎ（ｋ）=ＣｋｎＰｋ（１－Ｐ）ｎ－ｋ球的表面积公式Ｓ=４πＲ２其中Ｒ表示球的半径球的体积公式Ｖ=４３πＲ３其中Ｒ表示球的半径一、选择题（１）已知向量ａ、ｂ满足ａ=１，ｂ=４，且ａ·ｂ=２，则ａ与ｂ的夹角为（Ａ）π６（Ｂ）π４（Ｃ）π３（Ｄ）π２（２）设集合Ｍ=Ｂ，Ｎ=Ｂ，则（Ａ）Ｍ∩Ｎ=覫（Ｂ）Ｍ∩Ｎ=Ｍ（Ｃ）Ｍ∪Ｎ=Ｍ（Ｄ）Ｍ∪Ｎ=Ｒ（３）已知函数ｙ=ｅｘ的图像与函数ｙ=ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ=ｘ对称，则（Ａ）ｆ（２ｘ）=ｅ２ｘ（ｘ∈Ｒ）（Ｂ）ｆ（２ｘ）=Ｉｎ２·ｌｎｘ（ｘ〉０）（Ｃ）ｆ（２ｘ）=２ｅｘ（ｘ∈Ｒ）（Ｄ）ｆ（２ｘ）=Ｉｎｘ＋Ｉｎ２（ｘ〉０）（４）双曲线ｍｘ２＋ｙ２=１的虚轴长是实轴长的２倍，则ｍ=（Ａ）－１４（Ｂ）－４（Ｃ）４（Ｄ）１４（５）设Ｓｎ是等差数列Ｂ的前ｎ项和，若Ｓ７＝３５，则ａ４=（Ａ）８（Ｂ）７（Ｃ）６（Ｄ）５（６）函数ｆ（ｘ）=ｔａｎｘ＋π４的单调增区间为（Ａ）ｋπ－π２，ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ（Ｂ）（ｋπ，（ｋ＋１）π），ｋ∈Ｚ（Ｃ）ｋπ－３π４，ｋπ＋π４，ｋ∈Ｚ（Ｄ）ｋπ－π４，ｋπ＋３π４，ｋ∈Ｚ（７）从圆ｘ２－２ｘ＋ｙ２－２ｙ＋１=０外一点Ｐ（３，２）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（Ａ）１２（Ｂ）３５（Ｃ）３√２（Ｄ）０（８）△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ．若ａ、ｂ、ｃ成等比数列，且ｃ=２ａ，则ｃｏｓＢ＝（Ａ）１４（Ｂ）３４（Ｃ）２√４（Ｄ）２√３（９）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为４，体积为１６，则这个球的表面积是（Ａ）１６π（Ｂ）２０π（Ｃ）２４π（Ｄ）３２π（１０）在ｘ－１２ｘ１０的展开式中，ｘ４的系数为（Ａ）－１２０（Ｂ）１２０（Ｃ）－１５（Ｄ）１５70页.jpg71页.jpg（１１）抛物线ｙ=－ｘ２上的点到直线４ｘ＋３ｙ－８=０距离的最小值是（Ａ）４３（Ｂ）７５（Ｃ）８５（Ｄ）３（１２）用长度分别为２、３、４、５、６（单位：ｃｍ）的５根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（Ａ）８５√ｃｍ２（Ｂ）６１０√ｃｍ２（Ｃ）３５５√ｃｍ２（Ｄ）２０ｃｍ２第Ⅱ卷二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在题中横线上。（１３）已知函数ｆ（ｘ）＝ａ－１２ｘ＋１．若ｆ（ｘ）为奇函数，则ａ＝__________．（１４）已知正四棱锥的体积为１２，底面对角线的长为２６√，则侧面与底面所成的二面角等于_____________．（１５）设ｚ=２ｙ－ｘ，式中变量ｘ、ｙ满足下列条件２ｘ－ｙ≥－１，３ｘ＋２ｙ≤２３ｙ≥１，则ｚ的最大值为————（１６）安排７位工作人员在５月１日至５月７日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在５月１日和２日。不同的安排方法共有__________种．（用数字作答）三．解答题：本大题共６小题，共７４分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（１７）（本小题满分１２分）已知］为等比数列，ａ３=２，ａ２＋ａ４=２０３．求］的通项公式．（１８）（本小题满分１２分）△ＡＢＣ的三个内角为Ａ、Ｂ、Ｃ，求当Ａ为何值时，ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值，并求出这个最大值，（１９）（本小题满分１２分）Ａ、Ｂ是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由４只小白鼠组成，其中２只服用Ａ，另２只服用Ｂ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用Ａ有效的小白鼠的只数比服用Ｂ有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用Ａ有效的概率为２３，服用Ｂ有效的概率为１２．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察３个试验组，求这３个试验组中至少有一个甲类组的概率。（２０）（本小题满分１２分）如图，ｌ１、ｌ２是互相垂直的异面直线，ＭＮ是它们的公垂线段。点Ａ、Ｂ在ｌ１上，Ｃ在ｌ２上，ＡＭ＝ＭＢ=ＭＮ（Ⅰ）证明ＡＣ⊥ＮＢ；（Ⅱ）若∠ＡＣＢ＝６０°，求ＮＢ与平面ＡＢＣ所成角的余弦值．（２１）（本小题满分１２分）设Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１（ａ〉１）短轴的一个端点，Ｑ为椭圆上的一个动点，求ＰＱ的最大值。（２２）（本小题满分１４分）设ａ为实数，函数ｆ（ｘ）=ｘ３－ａｘ２＋（ａ２－１）ｘ在（－∞，０）和（１，＋∞）都是增函数，求ａ的取值范围。２００６年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一．选择题（１）Ｃ（２）Ｂ（３）Ｄ（４）Ａ（５）Ｄ（６）Ｃ（７）Ｂ（８）Ｂ（９）Ｃ（１０）Ｃ（１１）Ａ（１２）Ｂ二．填空题（１３）１２（１４）π３（１５）１１（１６）２４００三．解答题（１７）解：设等比数列］的公比为ｑ，则ｑ≠０，ａ２=ａ３ｑ=２ｑ，ａ４=ａ３ｑ=２ｑ，所以２ｑ＋２ｑ=２０３，解得ｑ１=１３时，ｑ２=３，当ｑ=１３时ａ１=１８所以ａｎ=１８×（１３）ｎ－１=１８３ｎ－１=２×３３－ｎ当ｑ=３时ａ１=２９所以ａｎ=２９×３ｎ－１=２×３ｎ－１．（１８）解：由Ａ＋Ｂ＋Ｃ=π，得Ｂ＋Ｃ２=π２－Ａ２，所以有ｃｏｓＢ＋Ｃ２=ｓｉｎＡ２，ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２=ｃｏｓＡ＋２ｓｉｎＡ２=１－２ｓｉｎ２Ａ２＋２ｓｉｎＡ２=－２（ｓｉｎＡ２－１２）２＋３２．当ｓｉｎＡ２=１２，即Ａ=π３时，ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值３２（１９）解：（Ⅰ）设Ａｉ表示事件“一个试验组中，服用Ａ有效的小白鼠有ｉ只”，ｉ=０，１，２，Ｂｉ表示事件“一个试验组中，服用Ｂ有效的小白鼠有ｉ只”，ｉ=０，１，２．依题意有Ｐ（Ａ１）=２×１３×２３=４９，Ｐ（Ａ２）=２３×２３=４９．Ｐ（Ｂ０）=１２×１２=１４，Ｐ（Ｂ１）=２×１２×１２=１２．所求的概率为Ｐ=Ｐ（Ｂ０·Ａ１）＋Ｐ（Ｂ０·Ａ２）＋Ｐ（Ｂ１·Ａ２）=１４×４９＋１４×４９＋１２×４９=４９（Ⅱ）所求的概率为Ｐ=１－（１－４９）３=６０４７２９．（２０）解法一：（Ⅰ）由已知ｌ２⊥ＭＮ，ｌ２⊥ｌ１，ＭＮ∩ｌ１=Ｍ，可得ｌ２⊥平面ＡＢＮ．由已知ＭＮ⊥ｌ１，ＡＭ=ＭＢ=ＭＮ，可知ＡＮ=ＮＢ且ＡＮ⊥ＮＢ．又ＡＮ为ＡＣ在平面ＡＢＮ内的射影，∴ＡＣ⊥ＮＢ．（Ⅱ）∵Ｒｔ△ＣＮＡ艿Ｒｔ△Ｃ－ＮＢ，∴ＡＣ=ＢＣ，又已知∠ＡＣＢ=６０°，因此△ＡＢＣ为正三角形．∵Ｒｔ△ＡＮＢ艿Ｒｔ△ＣＮＢ，∴ＮＣ=ＮＡ=ＮＢ，因此Ｎ在平面ＡＢＣ内的射影Ｈ是正三角形ＡＢＣ的中心，连结ＢＨ，∠ＮＢＨ为ＮＢ与平面ＡＢＣ所成的角．在Ｒｔ△ＮＨＢ中，ｃｏｓ∠ＮＢＨ=ＨＢＮＢ=３√３ＡＢ２√２ＡＢ=６√３．解法二：如图，建立空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚ．令ＭＮ=１，则有Ａ（－１，０，０），Ｂ（１，０，０），Ｎ（０，１，０）．（Ⅰ）∵ＭＮ是ｌ１、ｌ２的公垂线，ｌ２⊥ｌ１，∴ｌ２⊥平面ＡＢＮ．∴ｌ２平行于ｚ轴．故可设Ｃ（０，１，ｍ）．于是ＡＣ=（１，１，ｍ），ＮＢ=（１，－１，０），∵ＡＣ·ＮＢ=１＋（－１）＋０=０，∴ＡＣ⊥ＮＢ．（Ⅱ）∵ＡＣ=（１，１，ｍ），ＢＣ=（－１，１，ｍ）．∴ＡＣ=ＢＣ，又已知∠ＡＣＢ=６０°，∴△ＡＢＣ为正三角形，ＡＣ=ＢＣ=ＡＢ=２．在Ｒｔ△ＣＮＢ中，ＮＢ=２√，可得ＮＣ=２√，故Ｃ（０，１２√）．∵连结ＭＣ，作ＮＨ⊥ＭＣ于Ｈ，设Ｈ（０，姿，２√姿）（姿〉０）．∴ＨＮ=（０，１－姿，－２√姿），ＭＣ=（０，１，２√）．∵ＨＮ·ＭＣ=１－姿－２姿=０，∴姿=１３．∴Ｈ（０，１３，２√３），可得ＨＮ=（０，２３，－２√３），连结ＢＨ，则ＢＨ=（－１，１３，２√３），ＨＮ·ＢＨ=０＋２９－２９=０，∴ＨＮ⊥ＢＨ，又ＭＣ∩ＢＨ=Ｈ，∴ＨＮ⊥平面ＡＢＣ，∠ＮＢＨ为ＮＢ与平面ＡＢＣ所成的角．又ＢＮ=（－１，１，０），∴ｃｏｓ∠ＮＢＨ=ＢＮ·ＢＨＢＮＢＨ=４３２３√×２√＝６√３．（２１）解：依题意可设Ｐ（０，１），Ｑ（ｘ，ｙ），则ＰＱ=ｘ２＋（ｙ－１）２√．又因为Ｑ在椭圆上，所以ｘ２=ａ２（１－ｙ２）．ＰＱ２=ａ２（１－ｙ２）＋ｙ２－２ｙ＋１=（１－ａ２）ｙ２－２ｙ＋１＋ａ２=（１－ａ２）（ｙ－１１－ａ２）２－１１－ａ２＋１＋ａ２．因为ｙ≤１，ａ〉１，若ａ≥２√，则１１－ａ２≤１，当ｙ=１１－ａ２时，ＰＱ取最大值ａ２ａ２－１√ａ２－１；若１〈ａ〈２√，则当ｙ=－１时，ＰＱ取最大值２．（２２）解：ｆ′（ｘ）=３ｘ２－２ａｘ＋（ａ２－１），其判别式△=４ａ２－１２ａ２＋１２=１２－８ａ２．（ｉ）若△=１２－８ａ２=０，即ａ=±６√２，当ｘ∈（－∞，ａ３）或ｘ∈（ａ３，＋∞，）时，ｆ′（ｘ）〉０，ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）为增函数．所以ａ=±６√２．（ⅱ）若△=１２－８ａ２〈０，恒有ｆ′（ｘ）〉０在（－∞，＋∞）为增函数．所以ａ２〉３２，即ａ∈（－∞，－６√２）∪（６√２，＋∞）（ⅲ）若△=１２－８ａ２〉０，－６√２〈ａ〈６√２，令ｆ′（ｘ）=０，解得ｘ１=ａ－３－２ａ２√３，ｘ２=ａ＋３－２ａ２√３．当ｘ∈（－∞，ｘ１）或ｘ∈（ｘ２，＋∞）时，ｆ′（ｘ）〉０，ｆ（ｘ）为增函数；当ｘ∈（ｘ１，ｘ２）时，ｆ′（ｘ）〈０，（ｘ）为减函数依题意ｘ１≥０且ｘ２≤１．由ｘ１≥０得ａ≥３－２ａ２√，解得由ｘ１≤ａ〈６√２．由ｘ２≤１得３－２ａ２√≤３－ａ，解得－６√２〈ａ〈６√２．从而ａ∈［１，６√２）．综上，ａ的取值范围为（－∞，－６√２］∪［６√２，＋∞）∪［１，６√２），即ａ∈（－∞，－６√２］∪［１，＋∞）．三、解答题：（本大题共６小题，共７４分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１７）（本小题满分１２分）△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ，求当Ａ满足何值时，ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值，并求出这个最大值。（１８）（本小题满分１２分）Ａ、Ｂ是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由４只小白鼠组成，其中２只服用Ａ，另２只服用Ｂ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用Ａ有效的小白鼠的只数比服用Ｂ有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用Ａ有效的概率为２３，服用Ｂ有效的概率为１２．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察３个试验组，用孜表示这３个试验组中甲类组的个数．求孜的分布列和数学期望．（１９）（本小题满分１２分）如图，ｌ１、ｌ２是互相垂直的异面直线，ＭＮ是它们的公垂线段．点Ａ、Ｂ在ｌ１上，Ｃ在ｌ２上，ＡＭ=ＭＢ=ＭＮ。（Ⅰ）证明ＡＣ⊥ＮＢ；（Ⅱ）若∠ＡＣＢ=６００，求ＮＢ与平面ＡＢＣ所成角的余弦值．（２０）（本小题满分１２分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，有一个以Ｆ１（０，－３√）和Ｆ２（０，３√）为焦点、离心率为３√２的椭圆．设椭圆在第一象限的部分曲线为Ｃ，动点Ｐ在Ｃ上，Ｃ在点Ｐ处的切线与ｘ、ｙ轴的交点分别为Ａ、Ｂ，且向量ＯＭ=ＯＡ＋ＯＢ求（Ⅰ）点Ｍ的轨迹方程；（Ⅱ）ＯＭ的最小值．（２１）（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）=１＋ｘ１－ｘｅ－ａｘ．（Ⅰ）设ａ〉０，讨论ｙ=ｆ（ｘ）的单调性；（Ⅱ）若对任意ｘ∈（０，１）恒有ｆ（ｘ）〉１，求ａ的取值范围．（２２）（本小题满分１２分）设数列Ｑ的前ｎ项和Ｓｎ=４３ａｎ－１３×２ｎ＋１＋２３，ｎ=１，２，３，…．（Ⅰ）求首项ａ１与通项ａｎ；（Ⅱ）设Ｔｎ=２ｎＳｎ，ｎ=１，２，３，…，证明：ｎｉ=１移Ｔｉ〈３２75页.jpg75页.jpgｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２=ｃｏｓＡ＋２ｓｉｎＡ２=１－２ｓｉｎ２Ａ２＋２ｓｉｎＡ２=－２（ｓｉｎＡ２－１２）２＋３２．当ｓｉｎＡ２=１２，即Ａ=π３时，ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值３２．（１８）解：（Ⅰ）设Ａｉ表示事件“一个试验组中，服用Ａ有效的小白鼠