06第六节二阶常系数齐次线性微分方程

第六节二阶常系数齐次线性微分方程根据二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解.本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法.本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.分布图示★二阶常系数线性方程的解法★例1★例2★例3★n阶常系数齐次线性微分方程的解法★例4★例5★例6★例7★内容小结★课堂练习★习题8-6内容要点：一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0qyypy(7.1)特征方程,02qprr(7.2)称特征方程的两个根,1r2r为特征根.)sincos()(,002121212121212121xCxCeyirirexCCyrreCeCyrrqyypyqprrxxrxrxr有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(ypypypynnnn(7.6)其特征方程为0111nnnnprprpr(7.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:xkkkkrxkkexxDxDDxxCxCCikexCxCCrk]sin)(cos)[()(111011101110复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注:n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解为.2211nnyCyCyCy例题选讲：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法例1（E01）求方程032yyy的通解.解所给微分方程的特征方程为,0322rr其根3,121rr是两个不相等的实根，因此所求通解为.321xxeCeCy例2（E02）求方程044yyy的通解.解特征方程为,0442rr解得1r2r,2故所求通解为.)(221xexCCy例3（E03）求方程052yyy的通解.解特征方程为,0522rr解得2,1r,21i故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyxn阶常系数齐次线性微分方程的解法例4求方程052)4(yyy的通解.解特征方程为,052234rrr即,0)52(22rrr特征根是1r2r0和43，r,21i因此所给微分方程的通解为).2sin2cos(4321xCxCexCCyx例5求方程0444wdxwd的通解,其中.0解特征方程为.044r由于44r2422422rrr222222)(rr),2)(2(2222rrrr特征方程为,0)2)(2(2222rrrr特征根为),1(22,1ir),1(24,3ir因此所给方程的通解为wxCxCex2sin2cos212.2sin2cos432xCxCex例6求下列微分方程的通解.(1);02)3()5(yyy(2).022)4()6(yyyy解)1(特征方程为,0235rrr即,0)1(22rr特征根,01r,32irr,54irr通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCCy(2)特征方程为,022246rrr即,0)1)(2(42rr特征根,21r,22r,13r,14r,5ir,6ir通解为xxxxeCeCeCeCy432221.sincos65xCxC例7已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin3,2cos,,4321xyxyxeyeyxx求这个四阶微分方程及其通解.解由1y与2y可知，它们对应的特征根为二重根21rr,1由3y与4y可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3ir所以特征方程为,0)4()1(22rr即,04852234rrrr它所对应的微分方程为,04852)4(yyyyy其通解为.2sin2cos)(4321xCxCexCCyx课堂练习1.求解下列二阶常系数齐次线性微分方程:(1)065yyy；(2)092416yyy；(3).0258yyy2.求方程022)3()4()5(yyyyyy的通解.3.求微分方程yyyyyln)(22的通解.