06第六节高斯公式通量与散度

第六节高斯公式通量与散度格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系.本节要介绍的高斯公式则揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.分布图示★高斯公式★例1★例2★例3★沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件★通量与散度★例4★内容小结★课堂练习★习题10-6★返回内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数，则有公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP(6.1)这里是的整个边界曲面的外侧,cos,cos,cos是上点),,(zyx处的法向量的方向余弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)coscoscos(dSRQPdvzRyQxP二、通量与散度一般地，设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(,其中函数P、Q、R有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是曲面的单位法向量.则沿曲面的第二类曲面积分RdxdyQdzdxPdydzSdnASdA称为向量场A通过曲面流向指定侧的通量.而zRyQxP称为向量场A的散度，记为Adiv，即zRyQxPAdiv.(6.4)例题选讲利用高斯公式计算例1(E01)计算曲面积分,)()(xdydzzydxdyyx其中为柱面122yx及平面3,0zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（图10-6-1）.解,)(xzyP,0Q,yxR,zyxP,0yQ,0zR利用高斯公式，得原式=dxdydzzy)(（利用柱面坐标）dzrdrdzr)sin(rdzzrdrd103020)sin(.29例2计算,)()(22dxdyzxdzdxyz其中为旋转抛物面221yxz在10z部分的外侧.解作辅助平面1,0:z则平面1与曲面围成空间有界闭区域,由高斯公式得dxdyzxdzdxyz)()(2211)()()()(2222dxdyzxdzdxyzdxdyzxdzdxyz1)()2(2dxdyzxdvxyDrdxrdzdrd220101022.434cos0)1(420122102rdrrddrrr例3(E02)计算,)coscoscos(222dSzyx其中为锥面222zyx)0(hz,cos,cos,cos为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221hyxhz取1的上侧，则1构成封闭曲面(见图10-6-2)，设其所围成空间区域为.于是1)coscoscos(222dSzyxdvzyx)(2hyxDdzzyxdxdyxy22)(2200422222.21)()(222hDDhyxhrdrrhddxdyyxhzdzdxdyxyxy而11,)coscoscos(422222xyDhdxdyhdxdyzdSzyx故.2121)coscoscos(444222hhhdSzyx通量与散度例4(E03)求向量场kzjyixr的流量(1)穿过圆锥)0(222hzzyx的底(向上);(2)穿过此圆锥的侧表面（向外）.解如图10-6-3，设21,SS及S分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量QSSdrVdvrdivVdv3.3h(1)穿过底面向上的流量1QSSdrhzzyxzdxdy222222zyxhdxdy.3h(2)穿过侧表面向外的流量2Q1QQ.0课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222Sdxdyxyzdzdxxzydydzyzx其中S为球2222)()()(Rczbyax面的外侧.2.求向量场jxyxiyyxa)()(2332的散度.