07-08数学分析II考试试卷A答案

第1页共7页暨南大学考试试卷得分评阅人一、单项选择题（共6小题，每小题2分，共10分）1.函数)(xf在[a,b]上可积，那么（A）A．)(xf在[a,b]上有界B．)(xf在[a,b]上连续C．)(xf在[a,b]上单调D．)(xf在[a,b]上只有一个间断点2．若CxFdxxf)()(，则dxefexx)(（B）A．CeFx)(B．CeFx)(C．CeFx)(D．CxeFx)(3．在[a，+∞]上恒有)()(xgxf，则（D）A．adxxf)(收敛adxxg)(也收敛B．adxxg)(发散adxxf)(也发散C．adxxf)(和adxxg)(同敛散D．无法判断教师填写2007---2008学年度第2学期课程名称：数学分析II授课教师姓名：高凌云考试时间:2008年7月15日课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B)[A]共8页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第2页共7页4.函数项级数)(1xann在D上一致收敛的充要条件是（A）A．对0,N（）0，使当mnN有)()(1xaxamnB．对0,N0，使当mnN有)()(1xaxamnC．0,N（）0，使当mnN有)()(1xaxamnD．对0,N（）0，使mnN有)()(1xaxamn5.fx是以2为周期的函数，在一个周期,的表达式为fxx，则它的傅里叶级数（B）A．不含正弦项；B．不含余弦项；C．既含正弦项也含余弦项；D．不存在.得分评阅人二、叙述题（每小题3分，共6分）1、牛顿-莱不尼兹公式设)(xf在],[ba上连续，)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数，则成立)()()(aFbFdxxfba2、1nna收敛的cauchy收敛原理,0.0N使得Nnm，成立mnnaaa21得分评阅人二、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）1.)212111(limnnnn.由于x11在[0，1]可积，由定积分的定义知（1分）暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第3页共7页)212111(limnnnn=2ln11)11211111(1lim10dxxnnnnnn（4分）2.60202sinlimxdttxx316sin2limsinlim54060202xxxxdttxxx（5分）3．求摆线])2,0[()cos1()sin(ttayttax与x轴围成的图形的面积。所求的面积为：22023)cos1(adxxa（5分）4.求由曲线2xy和2yx围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的体积为：103)(104dxxx（3分）5．求数项级数012)1(nnn的和.解考虑幂级数01212)1(nnnnx,其收敛域为]1,1[.设和函数为)(xS,在)1,1(内有0220211)()1()(nnnnnxxxxS,1||x.（2分）注意到0)0(S,对x)1,1(有)(xS)(xSxxarctgxxdtdttSS0021)()0(,x]1,1[.于是,012)1(nnn41)1(arctgS.（3分）6.dxxxx1112.暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第4页共7页解：设xt1，则dxxxx1112=dtttxdxx11)1(11=dttdtttdttt11111222=cttt)1ln(122=cxxxx2211ln1（5分）7.xdxsec.解：xxddxxxxdx22sin1sincoscossec=]sin1sinsin1sin[21dxxxddxxxd=Cxx|sin1sin1|ln21（5分）8.edxx1)sin(ln解：eeeedxxeedxxxxdxx1111)sin(ln11cos1sin)cos(ln|lnsin)sin(ln（3分）)11cos1sin(21)sin(ln1eedxxe（2分）得分评阅人三、讨论判断题（共2小题，每小题5分，共10分）1.讨论反常积分101lndxxx的敛散性。2.解：21121210101ln1ln1lnIIdxxxdxxxdxxx对于11ln,1lnlim11212xxdxxxIx，它为正常积分；（2分）对于0,2/1,01ln,1ln2102101limpxxxdxxxIx，它收敛。暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第5页共7页综上所述，积分收敛（3分）3.讨论)(xfn2222xnxen在R内的一致收敛性.解：显然有)(xfn0,|)()(|xfxfn)(xfn在点nxn21处取得极大值022121nenfn,)(n.（3分）|)()(|supxfxfnx02|)(|21supnexfnx，)}({xfn不一致收敛.（2分）得分评阅人四、证明题（共3小题，每小题6分，共18分）1.证明函数)(xf1nnxne在区间),0(内连续.证(先证1nnxne在区间),0(内闭一致收敛.)对ba0，有nanxnene0，x],[ba；又nane，1nnxne在],[ba一致收敛.（2分）(次证对0x),0(,)(xf在点0x连续)对0x),0(,由上段讨论,1nnxne在区间]2,2[00xx上一致收敛;又函数nxne连续,)(xf在区间]2,2[00xx上连续,)(xf在点0x连续.由点0x的任意性,)(xf在区间),0(内连续.（4分）2.设)(xf在],[ba上连续，0)(xf但不恒为0，证明0)(badxxf。证明：由0)(xf但不恒为0，至少有一点],[0baxf（x）在[a,b]连续（2分），存在包含x0的区间],[],[badc，有0)(xf（2分），0)()(dcbadxxfdxxf（2暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第6页共7页分）3.若，且数列有界，则级数收敛．证明：已知数列有界，即，，有，（2分）或，两端平方，有．（2分）而22nM收敛，故由比较判别法知级数收敛．（2分）得分评阅人五、将函数展成级数（共2小题，第1小题6分，第2小题10分，共16分）1.设)(xf是周期为4的周期函数，它在)2,2[上的表达式为201020)(xxxf将它展开成傅立叶级数。解：)(xf的图象如下：其傅立叶系数为121200dxa02sin2212cos212020xnndxxnannnnxnndxxnb)1(112cos2212sin212020（3分）据收敛定理，有,2,1,0221,2,1,02)(2sin)1(1211kkxkkxxfxnnnn因此，)(xf的傅立叶展开式为暨南大学《数学分析II》试卷A答案考生姓名、学号：第7页共7页25sin5123sin312sin221)(xxxxf这里，,2,1,0,2,kkxx（3分）2.利用已知函数的幂级数展开式，求函数)1ln(2xxx在0x处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间.因为nnntnnt212!)!2(!)!12()1(111，]1,1[t，（3分）从而)1ln(2xxxdttt0'2)]1[ln(=dttx0211=xnnndttnn012]!)!2(!)!12()1(1[102!)!2(!)!12()1(nxnndttnnx121)12(!)!2(!)!12()1(nnnxnnnx，（5分）故22122)12(!)!2(!)!12()1()1ln(nnnxnnnxxxx，)1(x。（2分）