07-09年海南省高考数学卷平面几何试题分析及教学对策

107-09年海南省高考数学卷平面几何试题分析及教学对策由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3个题中任选1题作答，若多选，则按题号最前的一题给分。关于“几何证明选讲”，要求：（1）理解相似三角形的定义和性质，了解平行截割定理。（2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理。---------摘自供2009年海南省使用的《高考大纲说明》2004年，广东、山东、海南、宁夏四个省区第一批进入新课改实验。2007年起海南省采用全国高考数学课标卷。下面是07-09年海南省高考数学卷平面几何试题及其评析：[07年试题]：如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于BC，两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．（I）证明APOM，，，四点共圆；（II）求OAMAPM的大小．[考查目的]本题主要考查圆的切线的判定与性质、圆内接四边形的判定与性质以及垂径定理等相关知识。试题的选取注重平面几何最基本的定理的运用。[解题思路]连结OP，OM,由切线的性质及垂径定理等相关知识即可解得。[答案]（Ⅰ）证明：连结OPOM，．因为AP与圆O相切于点P，所以OPAP．因为M是圆O的弦BC的中点，所以OMBC．于是180OPAOMA°．由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以APOM，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得APOM，，，四点共圆，所以OAMOPM．APOMCBAPOMCB2由（Ⅰ）得OPAP．由圆心O在PAC的内部，可知90OPMAPM°．所以90OAMAPM°．[试题评价]作为新课改后的第一次高考，平面几何选考题起点较低。考生只需掌握平面几何最基本的知识：垂径定理，四点共圆的条件（即圆的内接四边形判定定理），切线的性质，圆周角定理，即可解答。考题要求明显低于数学课本选修4—1《几何证明选讲》。[08年试题][如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。（1）证明：OM·OP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM=90°。[考查目的]本题考查圆的切线的判定与性质、射影定理和相似三角形的判定，考查几何直观能力和推理论证能力。[解题思路]利用切线的性质在RtOAM中，由射影定理知2OAOMOP。证明ONP∽OKM得090OKMOPN。[答案]（１）证明：因为ＭＡ是圆Ｏ的切线，所以OAAM，又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知2OAOMOP；（２）证明：因为ＢＫ是圆Ｏ的切线，BNOK，同1有：2OBONOK，又OBOA，所以OMOPONOK，即ONOMOPOK，又NOPMOK，所以ONP∽OKM，故090OKMOPN。[试题评价]作为新课改后的第二次高考，此选考题的要求明显提高。如果说第一问实质是比较直接地考查直角三角形射影定理的应用的话，那么第二问明显地在图形的变化，定理的选择等方面设置了难点。图形中共出现了8个直角三角形，思维指向那一个？扑朔迷离！有一定的挑战性。当注意到半径OA=OB,转机_K_B_P_A_O_M_N_K_B_P_A_O_M_N3FEHDCBAEFHDCBA才得以出现！等积式OMOPONOK的获得，或在一念之间（数学解题中灵感是存在的），或历经苦苦追寻。灵感触发也罢，苦苦追寻也罢，都只是数学的知识，方法，能力日积月累，厚积薄发的不同形式。试题的设计强调平面几何基本定理的应用，以考查学生的观察，探索，发现的能力和逻辑推理能力。[09年试题]如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，060B，F在AC上，且AEAF。（I）证明：B,D,H,E四点共圆：（II）证明：CE平分DEF。[考查目的]本题考查三角形内角平分线的性质，圆的内接四边形的判定定理（即四点共圆的条件），等腰三角形的性质定理，圆周角性质等最基本的平面几何知识以及灵活运用这些知识解决有关问题的能力。[解题思路]要证B,D,H,E四点共圆，只需证∠EBD+∠EHD=180°即证∠EHD=120°，这可由已知∠B=60°及三角形内角和定理和内角平分线性质得到；而由等腰三角形性质和圆周角性质，可得∠CEF=∠CED=30°，CE平分∠DEF。w。w。w[答案]（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°。因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°。w。w。w。k。s。5。u。c。o。m于是∠EHD=∠AHC=120°。因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°。又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°。所以CE平分∠DEF。w。w。w。k。s。5。u。c。o。m[试题评价]本题将问题设置在一个“特殊”的三角形背景下。这一“特殊”既不是等腰三角形或等边三角形，也不是直角三角形，而是060B。这时∠BAC，∠BCA的大小未定，其和却为定量。这看似简单，然而能否“识破”这点，决定成败！这也正印证了：最基本的也就是最重要的。事实上，对任何三角形（如图），由三角形外角定理，)(21)(21ABCACBABCBACAHC=9021ABC。不难看到，试题将这一结论移植于含60°的三角形中，于是，“四点共圆”便是水到渠成的了。第二问，060B的作用仍然至关重要。∠CEF，∠CED两个角相等，是以B21为媒介的。试题对考生设置了一个似曾相识，实则陌生的情景，体现了高考的公4FMCDBOMMAA平性。以下谈谈平面几何选考题对中学数学教学的启示。1．要充分重视教材的基础作用和示范作用数学教材是数学基础知识的载体，形成基本技能的蓝本。与平面几何选考题相对应的数学教材选修4-1《几何证明选讲》（人教版），其第一讲《相似三角形的判定及有关性质》和第二讲《直线与圆的位置关系》，涵盖平行线等分线段、平行线分线段成比例和相似三角形的性质、圆周角、圆的内接四边形、圆的切线、弦切角、与圆有关的线段间的度量关系等内容。教材将这些知识溶为一体，对相关定理进行了严格论证，并注重知识的应用。两讲共介绍定理（含推论）33条，设置例题26道，习题41道，探究（含观察）18处。通过这些内容的教学，特别是定理的推导过程和例题的求解（证明）过程，巩固和发展学生基本的数学思想和方法（如从特殊到一般，化归思想，分类思想，运动变化思想，猜想与证明等思想方法）。另外，选考题题型采用的是平面几何常用的证明题，难度也控制在教材习题的中等难度之内。因此，要充分重视教材的基础作用和示范作用，花大力气研究课本，务使学生理解实质，真正掌握。2．要充分发挥《考试大纲》和《考试大纲的说明》的指导作用《考试大纲》是为课程标准实验省（直辖市，自治区）高考而编制的，《考试大纲的说明》则根据各地的高考方案，教学水平不同而制定。海南省《考试大纲的说明》从我省实际情况出发，对《考试大纲》进一步细化，对试卷结构和使用的题型进行具体说明。首先应注意《考试大纲的说明》规定了我省仅考《考试大纲》中《几何证明选讲》中的前3项（共8项），旨在突出强调那些最常见的，最重要的，适用面广的知识和方法。其次《考试大纲的说明》中的《题型示例》，为大纲及其说明做了直接具体的诠释，应引起足够的重视。请看07-09三年都被使用的《几何证明选讲》的一个题型示例：如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上的点，CA是BAF的角平分线。过点C作AFCD，交AF的延长线于点D，ABCM垂足为点M。(Ⅰ)求证：DC是⊙O的切线；(Ⅱ)求证：AM·MB=DF·DA。只要仔细将三个年份的考题和此示例作比较，我们不难发现其中的“共圆”，“切线”“射影定理”“角平分线”等这些重要概念是如此“和谐”地共存于示例和考题中。我们有理由认为，充分发挥《考试大纲》和《考试大纲的说明》的指导作用，认真研究示例和考题的关系，今后的高考备考工作必收事半功倍之效！3．对《几何证明选讲》教学的一点建议《几何证明选讲》安排的教学时间为14学时（前两讲），另加复习课时间6学时，选考题分值10分且难度适中（属容易题或中等题），如略去其他因素，其分值学时比高达0.5!事实上，选考题(包括坐标系和参数方程,不等式证明选讲)早已成为考生一个重要的得分点。我校素有数学竞赛强校之美誉，师生平面几何研讨的风气浓郁，底蕴深厚。我们要充分利用这一优势，精心组织，积极引导，强调教师之间、师生之间、生生之间的互动和沟通。要确保选考内容的教学时数。在高三复习阶段，要使学生在掌握教材的基础上能把这部分的重要知识如：全等、5相似、平行、垂直、圆周角、圆的内接四边形、圆的切线、相交弦定理、射影定理等各个局部知识组织成整体，形成知识体系；坚持月考每卷必考选考题，以考促学。选考题难度容易或中等但排列于试卷最后，建议学生适当调整解答顺序，以避免前面难题久攻不下，后题容易错失良机。惟其如此，选考题必将成为我校学子驰骋考场为海中争光的亮点。