0721第一章振动运动学

第一章振动运动学§1-1概述一、机械振动的的概念机械振动——英文名称mechanicalVibration可解释：机械或结构物在静平衡位置附近的一种反复运动。在许多情况下，机械振动是有害的。它影响机器设备的工作性能和寿命，产生不利于工作的噪声和有损于机械或结构物的动载荷，严重时会使零部件失效甚至破坏而造成事故。因此，对于大多数机器设备，应将其振动量控制在允许的范围内。反之，对于利用振动原理工作的机器设备，则又应使它能产生所希望的振动，选择其应有的效能。实际的机器或结构物可以，简化为一个力学模型。如图1.1所示，一个不发生形变的物体放在一个忽略了质量的弹簧上，组成一个“弹簧-质量”系统。图1-1弹簧-质量系统物体静止时，物体处于图1.1（a）所示的平衡位置O-O，此时物体的重力与弹簧支持它的弹性恢复力互相平衡，即它们的合力Q=0，物体的速度v=0，加速度a=0；当物体受到向下的冲击作用后即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹性恢复力逐渐加大，使物体作减速运动。当物体的速度减小到零后，物体即运动到如图1.1（b）所示的最示的最低位置，此时v=0，而弹簧的弹性恢复力大于物体的重力，故合力Q的方向向上，使物体产生向上的加速度a，物体即开始向上运动；当物体返回到如图1.1（c）所示的平衡位置时，其所受合力Q又为零，但其速度v却不为零，由于惯性作用，物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹性恢复力逐渐变小，物体重力大于弹性恢复力，合力Q方向向下，故物体又作减速运动。当物体向上的速度减少到零时，物体即运动到如图1.1（d）所示的最高位置。此后，物体即开始向下运动，返回平衡位置；当物体返回到如图1.1（e）所示的平衡位置时，其所受合力Q又为零，但其速度v仍不为零。由于惯性作用，物体继续向下运动。这样，物体即在平衡位置附近来回往复运动。一次振动——物体从平衡位置开始向下运动，然后向上运动，经过平衡位置再继续向上运动，然后又向下运动回到平衡位置（从图1.1a到图1.1e）。机械振动是指机械系统的某些物理量（位移、速度、加速度），在某一数值附近随时间t的变化关系。周期振动——某物理量在相等的时间间隔内作往复运动。周期——往复一次所需的时间间隔（T）周期振动可用时间的周期函数表达为：nTtxtx式中：n=1，2，……频率——周期的倒数zHsTf或11二、机械振动的分类对于一个复杂的河，人们往往用分类的办法将其区别来对待，讨论机械振动，有必要对振动加以分类。（在这里仅讨论五种分类方法）。1．按产生振动的原因分类（1）自由振动——当系统的平衡被破坏，只靠其弹性恢复力来维持的振动。（2）受迫振动——在外界激振力的持续作用下，系统被迫产生的振动。（3）自激振动——由于系统具有非振荡性能源和反馈特性，从而引起一种稳定的周期性振动。2．按振动的规律分类（1）简谐振动——能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。（2）非简谐振动——不能用正弦或余弦函数来表达其运动规律的周期性振动。（3）随机振动——不能用简单函数或这些简单函数的简单组合来表达其运动规律，而只能用统计方法来研究的非周期性振动。3．按振动系统的结构参数的特性分类（1）线性振动——系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线性关系，能用常系数线性微分方程描述的振动。（2）非线性振动——系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质，只能用非线性微分方程描述的振动。4．按振动系统的自由度数目分类（1）单自由度系统振动——确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标的振动。（2）多自由度系统振动——确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标的振动。5．按振动位移的特征分类（1）扭转振动——振动体上的质点只作绕轴线的振动。（2）纵向振动——振动体上的质点只作沿轴线方向的振动。（3）横向振动——振动体上的质点只作垂直轴线方向的振动。振动还有其它的分类：周期性振动，非周期性振动稳态振动、瞬态振动等。§1-2简谐振动及其表示方法一、简谐振动及其特征简谐振动是指机械系统的某个物理量（位移、速度、加速度）按时间的正弦（或余弦）函数规律变化的振动。简谐振动的数学表达式是：tTAx2sin其中：A——振幅，表示物体离开平衡位置的最大位移；T——周期，若用t＋T，t＋2T，……，t＋nT等代替上式中的t，则所得的x值不变。故每隔时间T，运动就完全重复一次，所以T是振动周期。圆频率fT22tAxsin(1.4)式中：t——相位角,它是决定振动物体在t时刻运动状在记的重要物理量；——初相位，即t=0时的相位，表示振动物体的初始位置。简谐振动的速度和加速度2coscostAtAxv(1.5)tAtAxasinsin22(1.6)比较（1.4）、（1.5）和（1.6）式，可以看出，（简谐振动的运动学特征）（1）只要位移是简谐函数，则速度和加速度也是简谐函数，而且与位移具有相同的频率。（2）速度的相位比位移的相位超前2，加速度比位移超前；（3）因数xx2，这就表明简谐振动的加速度与位移恒成正比而反向，即加速度始终指向平衡位置。这是简谐振动的运动学特征。二、简谐谐的矢量表示法和复数表示法1．矢量表示法简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示。图1.5简谐振动的矢量表示法如图1.5所示，从始点O作矢量OP，其模为A，以等角速度旋转，矢量的起始位置与水平轴的夹角为。在任一瞬时，矢量与水平轴的夹角则为t。这一旋转矢量在垂直轴上的投影即为tAxsin这一旋转矢量在水平轴上的投影即为tAxcos由此可见，旋转矢量在垂直轴或水平轴上的投影，均可用来表示简谐振动。而这一旋转矢量的模，就是简谐振动的振幅；旋转矢量的角速度就是简谐振动的圆频率；旋转矢量与水平轴的夹角就是简谐振动的相位角；而简谐振动的初相位角，则是t=0时旋转矢量与水平轴的夹角。简谐振动的速度和加速度也可用旋转矢量来表示。因为速度和加速度也是时间t的正弦（或余弦）函数，其圆频率仍为，并分别具有以下的最大值：AaAv200故可用等速旋转的两个矢量v0和a0来表示。但速度矢量超前于位移矢量90°，加速度矢量则超前位移矢量180°。相位差是指两物理量达到最大值（或最小值）时时间上的差异。若两个物理量同时达到最大值或最小值，则相位差=0（同相）。若两个物理理一个达到最大值时，另一个正好达到最小值，则相位差，称为反相。2．复数表示法复数可以用复数平面上的一个矢量来表示。图1.7复数的矢量表示法图1.8复数旋转矢量如图1.7所示，长度为A的矢量OP在实数轴和虚数轴上的投影分别为sincosAA及，故矢量OP就代表了下列复数：sincosiAz而OP的长度就代表了这一复数的模A，OP与实数轴的夹角就是这一复数的复角。若使OP绕O点以等角速度在复平面内逆时针旋转，就成为一个复数旋转矢量（图1.8）。它在任一瞬间的复角为t。故这一旋转矢量的复数表达式即为：titAzsincos根据欧拉公式：sincosiei则前式可改写成：tiAeZ如前所述，任一简谐振动都可用一个旋转矢量在直角坐标轴上的投影来表示。因此，同样可用一个复数旋转矢量在复平面的实轴或虚轴上的投影来表示一个简谐振动。可以用复数表示简谐振动。即timmAeIZItAxsin式中符号ImZ表示取复数Z的虚数部分。为了书写方便，今后对复数tiAe不作特别说明时，即表示取虚数部分，这样可省略符号Im。简谐振动的复数表达式是：复振幅或itititiAeeAAexAex简谐振动的速度和加速度也可用复数表示：titititieAAexeAAeix222可以看出，对复数tiAe每求导一次，则相当于在它前面乘上一个i，而每乘上一个i，就相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转2。三、简谐振动的合成在实际的振动系统中，往往同时遇到几个简谐振动叠加的情况，因此有必要研究简谐振动的合成。1．同方向上两个简谐振动的合成同方向上的简谐振动：两个振动方向在同一直线方向上。这两个振动同时发生，最终表现出的振动形式就是它们综合的效果。当两个简谐振动的频率相同时，可设这两个简谐振动的复数表达式为：titieAxeAx2211这是两个复数旋转矢量，根据矢量相加的原理，它们的和（即合成振动）为：tititieiAAAeAeAxxxsincos2212121设复数sincos221iAAAAeie则titiiAeeAex式中：合成振动振幅22221sincosAAAA合成振动初相位cossin2121AAAtg由此可见：合成振动仍然是一个简谐振动，其频率与原来分振动的频率相同。合成振动的振幅决定于分振动的振幅及其相位差，两个分振动同相时，相位差=0，则合成振动振幅等于两个振动的振幅和；两个分振动反相时，相位差，则合成振动振幅等于两个分振动的振幅差。当两个简谐振动的频率不同时，问题就比较复杂，因为这时两个分振动的相位差本身也成了时间的函数。设t=0时，两个分振动的相位差为。则在时间为t时，两个分振动的相位差可用下式表示。tt21式中：21,——两个分振动的频率；21，为两个分振动的频率差。这时，仍可庆用前面的推导结果，但必须把看成是一个变量。tAAAAAAAAcos2sincos21222122221由此可见：合成振动的振幅A是时间t的周期函数，它将以作为频率，在2121AAAAA的范围内变动。若两个分振动的振幅相差较大，则合成振动的振幅中总是由振幅大的一个分振动占主导地位，而振幅小的分振则只能使前者产生一些畸变。若两个分振动的振幅相差不大，那么合成振幅按一定频率时而增大，时而减小的现象就十分明显。振幅的这种变化的现象称为“拍”，振幅从一个最小值通过最大值再到下一个最小值的时间是拍的周期T拍，其倒数就称为拍频，拍频就等于两个分振动的频率之差。只有两个分振动的频率之比是有理数时，合成振动才可能是周期振动，它的周期就是两个分振动周期的最小公倍数。如果两个分振动的频率比是无理数，那么它们的周期就不可能找到最小公倍数，合成振动就不会是周期性运动。2．互相垂直方向上两个简谐振动的合成当一个质点在同一平面上互相垂直的两个方向同时产生简谐振动时，要研究该质点的综合运动形式，就要将这两个简谐振动合成起来。设该质点在x和y这两个互相垂直的方向上所作的简谐振动用下式表示：2211sinsintAytAx（1.13）将上式展开，并进行消去参数t的运算，得出x和y的函数关系如下：2122121222212sincos2AAxyAyAx（1.14）上式一般表示一个斜的椭圆，但随着相角的差与振幅的不同，可以退化为直线或正圆。例如，①当021时，（1.14）式变成：212122221202AAyxAAxyAyAx即②当21时，（1.14）式变成：21AAyx③当21时，（1.14）式变成：1222212AyAx（椭圆）④若A1=A2，则质点轨迹就是一个正圆。当两个方向上的振动频率1与2不同时，质点的振动轨迹就极为复杂，这些轨迹统称为李沙如图（Lissajowsfigure）。在振动试验中可得x，y方向上的两个振动信号分别输送到阴极示波器的x、y轴，在荧光屏上就会得到这两个互相垂直的简谐振动合成的图形——李沙如图。和同方向简谐振动合成一样，只有当1和2的比