07第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度内容分布图示★引例★数量场与向量场的概念★方向导数及其定义★例1★例2★例3★例4★例5★梯度的概念★例6★例7★例8★梯度的运算性质及应用（例9）★例10★等高线及其画法★内容小结★课堂练习★习题8—7★返回讲解注意：一、场的概念：数量场向量场稳定场不稳定场二、方向导数.),(),(lim0yxfyyxxflf定理1如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且,sincosyfxflf（7.1）其中为x轴正向到方向l的转角（图8-7-2）.三、梯度的概念：.),(jyfixfyxgradf}sin,{cos,sincosyfxfyfxflf,cos|),(|),(yxgradfeyxgradf函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设vu,可微，,为常数，则（1）grad)(vugradugradv;（2）graduvu)(gradvvgradu;（3）grad)()(ufufgradu.四、等高线的概念例题选讲：方向导数例1（讲义例1）求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.例2求函数22),(yxyxyxf在点)1,1(沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?例3（讲义例2）求函数)ln(22zyxu在点A(1,0,1)处沿点A指向点)2,2,3(B方向的方向导数.例4求zxyzxyzyxf),,(在点)2,1,1(沿方向l的方向导数,其中l的方向角分别为60℃,45℃,60℃.例5（讲义例3）设n是曲面632222zyx在)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu在此处方向n的方向导数.例6（讲义例4）(1)求.122yxgrad(2)设222),,(zyxzyxf,求)2,1,1(gradf.例7求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?例8（讲义例5）求函数xyzzxyu32在点)1,1,1(0P处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.例9（讲义例6）试求数量场rm所产生的梯度场,其中常数,0m222zyxr为原点O与点),,(zyxM间的距离.例10（讲义例7）设)(rf为可微函数,.|,|kzjyixrrr求),(rgradf课堂练习1.函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在?方向导数是否存在?2.求函数xzyzxyu在点)3,2,1(P处沿P点的向径方向的方向导数.