07级应用与信息复变函数试题(A)评分标准

1课程代号：051211潍坊学院数学与信息科学学院09-10学年第2学期期末考试《复变函数A》试卷(A)评分标准（07级数学与应用数学专业信息与计算科学专业适用）一、判断题：(每小题2分,共14分)1.×；2.√；3.×；4.×；5.√；6.√二、填空题：(每空2分,共16分)1.-1（或ie）；2.i2z；3.i32ln；4.1；5.2；6.3阶极点；7.2z；8.646412iei三、级数展开题（每小题6分，共24分）1．判定2222yxyixyxzf在z平面上的解析性,并求导数步骤:求出该函数zf的实部yxu,与虚部yxv,关于yx,的各偏导数;令柯西－黎曼条件成立(xyyxvuvu,)解得21y.…2分再结合上述各偏导数的连续性得zf仅在直线21y上可微,在z平面上处处不解析.…2分ixivuzfixzxxixz122121.…2分2.求函数zezfzsin在0z点的泰勒展式.步骤：zizieeizf1121…2分=01121nnnnz!niii=z,z!nnsin)(nnn042…4分(或530203121z!56zzzz)!1m(!nzzf2m1mmnn)3.求函数211zzzf在2z1内的洛朗展式.步骤:在圆环21z内，.12,11zz)2111(31)(zzzf…2分2116111131zzzzf…2分=012161131nnnnnnzz…2分4.求将点1z,0z,1z321依次变成点3210w,iw,w的分式线性变换.步骤:所求分式线性变换为z,1,0,1w,,i,0，…2分即12:z1z11:wwi…2分;解得zi1z1w…2分四、计算积分(每题6分,共18分)1.计算复积分CzdzeiI22zz21－,其中C为圆周12z..步骤:被积函数22zzezfz有两个奇点2z,z0,只有奇点2z在C:12z之内(奇点0z在C之外).…2分利用高阶导数的柯西公式或柯西留数定理求得4zI22zeez.…4分2.计算复积分11sinzzdzezzI.步骤:被积函数zezzzf1sin在单位圆周内只有奇点0z且为简单极点.…2分1ecoszlim1sinlimRez000zzzzezzfs…2分利用柯西留数定理求得i4I.…2分23.用留数理论计算实积分dxxxxxI41cos222.步骤:函数41222zzezzfiz在上半平面上只有两个奇点iziz2,,在实轴上无奇点.分别求出残数iezfsiz61Re,iezfsiz2231Re.…4分)2(3ReRe24122222eezfszfsidxxxexJizizix)2(3Re2eeJI…2分五、计算题（每题8分,共16分）1.求以调和函数2yxyxy,xu2为实部且满足条件iif1的解析函数zf.步骤：设),(yxv为),(yxu的共轭调和函数.由yxuvxy2两边关于y积分得)x(yxy)y,x(v2212,…3分再两边对x求导,并结合柯西—黎曼条件得yxuxyxyv22求得Cx)x(221…3分得出Cyxyxiyxyxy,xivy,xuzf222221221由初始条件得21C,21212212222yxyxiyxyxzf.…2分(解法二.Cdyyxudxyxuyxvyxxy),()0,0(),(),(),(…3分Cydy2xdx)xy(ydy2xdx)x2y()y,x(),x(),x(),(00002.Cyxyx2221221…3分并由初始条件求得1C21212212222yxyxiyxyxzf.…2分2.求将上半平面0Imz共形映射成单位圆1w且使23iLarg,0iL的分式线性变换zLw.步骤:所求变换zLw将iz关于实轴的对称点iz映成0w关于单位圆周1w的对称点w，所以它具有形式izizkzLw，…3分因0z映成单位圆周1w上的点,故kiikw1,从而izizewi…2分2232arge212i1eiL2iiiL，因此所求分式线性变换为izizizizezLw2i.…3分六、由复积分dzzezz1的值，证明实积分desincos0cos.（6分）步骤:先由柯西积分公式得ieidzzeIzz2201,…2分再由复积分的参数方程计算公式得dedeidieeeIiiisinsinsincoscoscossincos,…3分比较两个式子的实、虚部并利用余弦函数的偶性推出结果.…1分七、指出并证明方程045133611zzz在圆环21z内根的个数（8分）步骤:(1)方程045133611zzz在圆环21z内有5个根.…2分(2)令4513,3611zzzzzf,验证在圆周2z上zzf,由儒歇定理得知原方程在圆2z内有11个根.…2分令45,z133116zzzzg,验证在圆周1z上zzg,由儒歇定理得知原方程在圆1z内有6个根.…2分验证在圆周1z上,045133611zzz,原方程在该圆周上无根.综上得证.…2分