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第1页共10页知识点14：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一.选择题1.（2008山东威海）关于x的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定答案：A2.（2008年山东省潍坊市）已知反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根答案：C3.(2008年大庆市)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：D4．（2008年江苏省南通市）设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，且＜0，－3＜0，则（）A．B．C．D．答案：B5.（2008湖北黄石）已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（）A．B．C．D．第2页共10页答案：D6．（2008湖北鄂州）下列方程中，有两个不等实数根的是（）A．B．C．D．答案：D7.(2008资阳市)已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根答案：A8.(2008河南实验区)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且答案：B9.(2008台湾)关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？()(A)无解(B)有两正根(C)有两负根(D)有一正根及一负根答案：D10．（2008年上海市）如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A．B．C．D．答案：C11.(2008福建龙岩)方程的解是（）A．，B．，C．，D．，第3页共10页答案：A12.（2008年•南宁市）如果是方程的两个根，那么的值为：（A）-1（B）2（C）（D）答案：B13.（2008扬州市）若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A、a＜3B、a＞3C、a＜-3D、a＞-3答案：B二、填空题1.（2008年吉林省长春市）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系，.=根据该材料填空：已知，是方程的两实数根，则的值为______答案：１０2.（2008年江苏省苏州市）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．答案：3．（2008年江苏省无锡市）设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，12xx．答案：7，34.（2008四川泸州）已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是答案：第4页共10页5．（2008江苏宿迁）已知一元二次方程的一个根为，则．答案：46．（2008年山东省枣庄市）已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)(x2－2)=．答案：-47．（2008湖北鄂州）已知为方程的二实根，则．答案：28.（2008徐州）若为方程的两个实数根，则___▲___.答案：-19、（2008湖北荆州）关于X的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是____________.答案：≤k＜110、(2008青海)若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．答案：511、（2008四川凉山州）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．答案：7或812、(2008湖北仙桃等)关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为.答案：-2第5页共10页13、(2008黑龙江)三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．答案：6或10或12三、简答题1.(2008湖南长沙)当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？解：由题意，△=(-4)2-4(m-)=0即16-4m+2=0，m=．当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．2．（2008湖北鄂州）设是关于的一元二次方程的两实根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？解答：又，当时，的值最小此时，即最小值为．3．(2008北京)已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；第6页共10页（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．解：（1）证明：是关于的一元二次方程，．当时，，即．方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式，得．或．，．，，．．即为所求．（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象．由图象可得，当时，．4.(2008广东)（1）解方程求出两个解、，并计算两个解的和与积，填人下表第7页共10页（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.解：（1），，0，；，0，，0；2，1，3，2；，.（2）已知：和是方程的两个根，那么，，.5.(2008河南实验区)已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k的值；（2）求++8的值。解：（1）∵x，x是方程x-6x+k=0的两个根∴x+x=6xx=k第8页共10页∵——=115∴k—6=115解得k=11，k=-11当k=11时=36—4k=36—44＜0，∴k=11不合题意当k=-11时=36—4k=36+44＞0∴k=-11符合题意∴k的值为—11（2）x+x=6，xx=-11而x+x+8=（x+x）—2xx+8=36+2×11+8=666.（2008湖北孝感）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值。（友情提示：若、是一元二次方程两根，则有，）解：（1）由题意有，解得，即实数m的取值范围是。（2）由。若，即-（2m-1）=0，解得，不合题意，舍去。若，由（1）知。故当。第9页共10页7.（2008甘肃兰州）已知关于的一元二次方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值．解：（1）．方程有两个不相等的实数根，．即．（2）由题意得：，．，．．7分8.（2008广东中山）已知关于x的方程.（1）求证方程有两个不相等的实数根.（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.解：(1)证明:因为△=……1分=……3分所以无论取何值时,△0，所以方程有两个不相等的实数根。（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，……5分根据方程的根与系数的关系得，解得，……7分所以原方程可化为，解得，……9分9.(2008年广东梅州市)本题满分8分．已知关于的一元二次方程2--2=0………①．第10页共10页(1)若=-1是这个方程的一个根，求的值和方程①的另一根；(2)对于任意的实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．解：（1）=-1是方程①的一个根，所以1+-2=0，解得=1．方程为2--2=0，解得，1=-1，2=2．所以方程的另一根为=2．（2）=2+8，因为对于任意实数，2≥0，所以2+80，所以对于任意的实数，方程①有两个不相等的实数根．