08年全国高中数学说课比赛全国一等奖教案双曲线及其标准方程

1高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第1页共11页课题：双曲线及其标准方程一教材分析（一）教学内容双曲线及其标准方程是全日制普通高级中学（必修）《数学》第二册（上）（人民教育出版社）第八章第三节的内容.分两课时：第一课时：探索双曲线的定义，标准方程的推导及其初步应用；第二课时：探索双曲线的定义及其标准方程的进一步应用（巩固求曲线方程的两种基本方法，即定义法和待定系数法）.现在说第一课时.（二）教材的地位和作用双曲线是解析几何的重要内容——圆锥曲线之一，椭圆的学习已为研究本节内容提供了基本模式和理论基础；本节内容也是后继内容学习的基础，并在科学技术和日常生活中有着广泛的应用.（三）教学重点与难点[确定依据]根据教学大纲，学生学习实际情况，结合以上分析.教学重点双曲线的定义及其标准方程[解决方法]为了突出此重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示双曲线上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程.教学难点双曲线的标准方程的推导[解决方法]为了突破此难点，回顾用坐标法求曲线方程的一般步骤，类比椭圆标准方程的推导过程，关键是抓住“化简方程”这一环节来进行方程的推导.二学情分析（一）有利因素学生通过对椭圆的探究，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础.由于双曲线在日常生活中有着广泛的应用，学生具有了一定的好奇心和求知欲，并对双曲线有了一定的感性认识..（二）不利因素学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难.同时受学习椭圆的定势思维，容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：标准方程中a，b，c的关系，焦点位置的确定），在教学中引起了高度的重视，并2高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第2页共11页采取了相应的措施来克服这些不利因素.三教学目标分析[确定依据]根据教学大纲的要求，结合教材分析、学情分析特制定以下三维教学目标.（一）知识与技能目标掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题.（二）过程与方法目标通过学生自主探索，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，形成良好的思维品质.（三）情感态度与价值观目标通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.[四教法学法分析[确定依据]为实现以上教学目标，根据教学大纲的要求，结合本节课的教学内容，及学生的认知水平.（一）教学方法引导探索、发现法[设计意图]这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃.同时培养学生自主学习和动手探究的能力.（二）学习方法自主探索、合作交流．[设计意图]这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索精神及合作意识．（三）教学手段多媒体辅助教学．[设计意图]有利于激发学生学习的兴趣，增强动感与直观感，增大教学容量，提3高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第3页共11页高教学效率和教学质量．（四）学具一条拉链，两颗图钉，一块纸板.[设计意图]为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件.五教学过程设计[确定依据]为了充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.我设计了以下教学流程：（一）创设情境，引入新课本节课的开始由多媒体演示实例，并引导学生观察图中的红色曲线.（1）济南市立交桥的外观结构；（2）为缓解交通拥堵，北京市创建的新式交通结构图；（3）城市标志雕塑的外形；（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓.并指出：这些红色曲线就是数学中研究的双曲线.上述都是实际生活中与双曲创设情境引入新课抽象概括归纳定义类比探究建立方程实践探索形成能力分层作业巩固提高整理知识纳入系统4高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第4页共11页线有关的例子.除此之外，双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;利用远程双曲线导航的罗兰C卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题：§8.3双曲线及其标准方程(1)[设置意图]让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力.（二）抽象概括归纳定义提出思考：如何定义双曲线呢？[设计意图]通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：椭圆上动点M满足：aMFMF221(a0)引导一：若将上式改为aMFMF221(a0)，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？[设计意图]“思维从疑问开始”，以问题为出发点，创设有效的学习情景，不仅可以复习旧知，为本节课的学习奠定基础，而且这样设问可以提高学生的求知欲，激发学生学习的兴趣．鼓励学生积极参与、主动思考，发挥学生学习的主体作用.[解决方法]让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉.介绍作图方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1，F2处，取拉锁处为M点，由于拉链两段是等长的，则221FFMFMF，设aFF22，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图.(如图1).并由此提出思考：若动点M满足：aMFMF212(a0)，应该怎样作图呢？让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮助.然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果.对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦.5高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第5页共11页[设计意图]双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程．学生完成作图后，再用课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：集合｝，＝｛aaMFMFMP02211的动点M的轨迹.若将上述集合改为｝，＝｛aaMFMFMP02122，比较两集合的关系，取aFF21，同理可画出此时动点M的轨迹(图2).[设计意图]课件演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性.观察、比较，归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.其中右边一支满足：21MFMF，左边一支满足：21MFMF引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？（3）常数2a与21FF有什么关系？教师引导学生观察、分析，并归纳结论：（1）平面内（2）动点M与两个定点F1，F2的差的绝对值等于常数.（3）2120FFa并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点21FF、的差的绝对值等于常数(小于21FF)的点的轨迹叫图1图26高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第6页共11页做双曲线.并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.[设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.并实现对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法.引导三：如果改变常数a2的范围（2a=21FF，2a=0，2a＞21FF），动点的轨迹会发生什么变化呢？[解决方法]教师让学生相互讨论，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：常数2a动点M的轨迹(1)aMFMF221(0＜2a＜21FF)双曲线(2)21212FFa＝MFMF线段F1F2的延长线上以F2为端点的一条射线21122FFa＝MFMF段F2F1的延长线上以F1为端点的一条射线(3)2a=0段F1F2的中垂线(4)212FFa(违背了三角形三边长的关系)不存在[设计意图]通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力.上述结论是对满足集合aMF－MFMP＝221的动点M的轨迹的全面说明.（三）类比探究建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？[解决方法]先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程.[设计意图]通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学7高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第7页共11页生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路．第一步建系：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点21FF、，并且点O与线段21FF的中点重合.（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）第二步设点：设),(yxM是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为)0(2cc，那么，焦点21FF、的坐标分别是(0,c)、(0,c).又设点M与21FF、的距离的差的绝对值等于常数2a.第三步写点集：根据定义写出M点的轨迹构成的点集：P={M||MF1|—|MF2|=±2a}第四步列方程：用坐标法表示条件P（M），列出方f(x，y)=0，即：aycxycx2)()(2222①第五步化简：化方程f(x，y)=0为最简形式.将方程①化简，得)(2)(2222222acyaxac②由双曲线的定义可知，ac22，即ac，所以022ac.令222bac，其中0b，代入上式，得222222bayaxb两边除以22ba，得出：)0,0(12222babyax对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x轴上的标准方程，焦点是：F1(0,c)、F2(0,c)，焦距c2.[设计意图]为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步学生容易掌握，第五步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此，教师不图38高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第8页共11页失时机地加强了运算技能的训练.注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：平方，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a，b，c三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评.这一环节教学有助于突破本节的教学难点.注意：区别双曲线和椭圆的标准方程中cba,,的关系：双曲线：222bac（0,0ba，没有确定的大小关系与ba）椭圆：222bac－（0ba）[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的cba,,的关系，有助于学生克服椭圆学习中的思维定势.引导五：焦点在y轴上，并且点O与线段21FF的中点重合，cba,,的意义同上，双曲线的方程又如何呢？图4[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的焦点在y轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的x、y互换，即：[设计意图]该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学生的类比能力，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：)0,0(12222babxay9高中数学第二册（上）8.3双曲线及其标准方程（一）第9页共11页（1）双曲线的标准